-
-
Novo APOIA.se AjudaMatemática
por admin em Sáb Abr 25, 2020 19:01
- 0 Tópicos
- 486760 Mensagens
-
Última mensagem por admin
em Sáb Abr 25, 2020 19:01
-
-
Agradecimento aos Colaboradores
por admin em Qui Nov 15, 2018 00:25
- 0 Tópicos
- 548430 Mensagens
-
Última mensagem por admin
em Qui Nov 15, 2018 00:25
-
-
Ativação de Novos Registros
por admin em Qua Nov 14, 2018 11:58
- 0 Tópicos
- 512288 Mensagens
-
Última mensagem por admin
em Qua Nov 14, 2018 11:58
-
-
Regras do Fórum - Leia antes de postar!
por admin em Ter Mar 20, 2012 21:51
- 0 Tópicos
- 743469 Mensagens
-
Última mensagem por admin
em Ter Mar 20, 2012 21:51
-
-
DICA: Escrevendo Fórmulas com LaTeX via BBCode
por admin em Qua Ago 29, 2007 04:04
- 41 Tópicos
- 2200529 Mensagens
-
Última mensagem por Janayna
em Qui Abr 27, 2017 00:04
por marioitalo » Qua Out 15, 2008 20:26
Olá a todos,
Estive lendo a resolução de um problema que consistia em provar que
, o que é equivalente a
Pois bem, acontece que o primeiro passo para quem elaborou o gabarito foi transformar
em
Não consigo entender de onde saiu essa expressão. Consegui enxergar apenas que
foi fatorado de
, que
foi fatorado de
e
de
Alguém pode me socorrer, porque estou há um tempão tentando enxergar de onde surgiu esse desdobramento, se foi baseado em algum teorema, se foi por derivada, integral, intuição... O pior é que deve ser algo bem banal e tá me deixando maluco.
-
marioitalo
- Novo Usuário
-
- Mensagens: 3
- Registrado em: Qua Out 15, 2008 20:02
- Formação Escolar: GRADUAÇÃO
- Área/Curso: Tecnologia em Sistemas da Computação
- Andamento: cursando
por admin » Sex Out 17, 2008 05:33
Olá
marioitalo, boas-vindas!
Somente partindo desta expansão em particular eu ainda também não percebi qual foi a expressão considerada inicialmente e o objetivo na demonstração. Talvez a idéia fique mais clara enviando a resolução completa para apreciarmos.
Vale dizer que não há apenas uma prova ou demonstração para esta soma de cubos, há várias.
Não sei se sua dúvida é apenas esta ou se a idéia de outra demonstração ajudaria.
Por exemplo, uma possibilidade é considerar a seguinte expansão:
E antes de variarmos
de
a
, escrevemos assim:
Fazendo
variar, temos:
Repare que somando todos os membros, do lado esquerdo teremos vários cancelamentos, e do lado direito colocamos em evidência a soma dos cubos, dos quadrados e dos naturais:
Chamando de
Agora consideramos a soma dos quadrados obtida de forma análoga:
E também esta mais comum:
Expandindo a quarta potência, fazendo as outras distributivas e isolando
, obtemos:
Até mais!
-
admin
- Colaborador Administrador - Professor
-
- Mensagens: 886
- Registrado em: Qui Jul 19, 2007 10:58
- Formação Escolar: GRADUAÇÃO
- Área/Curso: Licenciatura em Matemática IME-USP
- Andamento: formado
por marioitalo » Sex Out 17, 2008 15:41
Muito obrigado pela resposta e pelas boas vindas, Fabio.
Segue abaixo o desenvolvimento completo da questão.
Obs.: Eu consegui chegar à expressão
fazendo a expansão de
, como se fosse
considerando
e
e rearrumando os termos, mas ainda assim não sei como se chegou àquela outra expressão.
Abraço.
Editado pela última vez por
marioitalo em Sex Out 17, 2008 23:41, em um total de 1 vez.
-
marioitalo
- Novo Usuário
-
- Mensagens: 3
- Registrado em: Qua Out 15, 2008 20:02
- Formação Escolar: GRADUAÇÃO
- Área/Curso: Tecnologia em Sistemas da Computação
- Andamento: cursando
por admin » Sex Out 17, 2008 18:03
Olá
marioitalo!
Agora a idéia criativa da demonstração ficou mais clara.
Antes, um detalhe de edição que percebi: na segunda parte, 2ª e 3ª linhas, faltou o símbolo fatorial em
.
Sobre a sua dúvida para a escolha de
daquela forma, podemos dizer que sim, foi uma "intuição" tática.
A origem desta idéia surge ao observar onde queremos chegar, ou seja:
Em destaque, este produto:
.
Quem criou a demonstração queria "fazer surgir" fatoriais para após as simplificações ficar com o produto
.
Note que
pode ser representado de outras formas conforme conveniência na prova.
Como aquela foi a escolha, estas são as condições para que a expressão se mantenha verdadeira:
De modo que os termos de grau 2 e 1 sejam anulados, ficando o de grau 3 com coeficiente 1:
Há outras demonstrações também bem interessantes e criativas. Li sobre uma geométrica que consta no livro do Simmons, cálculo com geometria analítica. Meu livro deve chegar na próxima semana, caso não tenha e queira ver posso postar depois por aqui.
Bons estudos!
-
admin
- Colaborador Administrador - Professor
-
- Mensagens: 886
- Registrado em: Qui Jul 19, 2007 10:58
- Formação Escolar: GRADUAÇÃO
- Área/Curso: Licenciatura em Matemática IME-USP
- Andamento: formado
por marioitalo » Dom Out 19, 2008 03:05
Olá Fabio,
Desculpe a demora em responder, mas é que comecei a seguir uma série de sites sobre o assunto que me levaram até aqui:
http://en.wikipedia.org/wiki/Pochhammer_symbol, uma página da Wikipedia falando sobre o símbolo de Pochhammer, que representa o "rising sequential product" ou fatorial ascendente (não sei se a tradução é exatamente essa), que guarda grande similaridade com a tal expressão inicial que postei. Pesquisando mais um puco, cheguei a esse PDF:
http://www.escolademestres.com/qedtexte/tomo1serieamostra.pdf, um manual de seqüências e séries. Lá pela página 14 ele resolve o mesmo problema usando o tal produto fatorial, com a diferença que lá ele usa o descendente e naquela demonstração que postei acredito que tenha sido usado o ascendente.
É mais ou menos assim: Seja
um polinômio fatorial da forma
Considerando que:
Podemos exprimir um polinômio
em função dos polinômios fatoriais
sendo
e
os restos das divisões abaixo:
Achando esses restos
, já caimos direto na expressão que foi utilizada dentro do somatório na resolução postada anteriormente, qual seja:
Se não quisermos obter esses restos, basta atribuir
como foi feito naquele primeiro caso e, ao final, zerarmos os coeficientes de
e
E aqui finalmente a bendita expressão aparece!
Bem, é isso. Se eu escrevi alguma besteira, por favor me corrijam...
Obrigado pela ajuda, Fabio.
Abraço.
-
marioitalo
- Novo Usuário
-
- Mensagens: 3
- Registrado em: Qua Out 15, 2008 20:02
- Formação Escolar: GRADUAÇÃO
- Área/Curso: Tecnologia em Sistemas da Computação
- Andamento: cursando
por admin » Ter Out 28, 2008 15:40
Olá
marioitalo!
Também peço desculpas pela demora em responder, mas atualmente não estou tão presente por aqui.
Eu também não conhecia aquela forma simplificada de representar os produtos.
É mais uma evidência da necessidade em cálculos deste tipo, visando facilitar a notação.
Aproveito para dar parabéns ao seu interesse em pesquisar!
Eu havia comentado sobre uma demonstração geométrica que consta no livro do Simmons, veja que interessante.
Antes, o autor destaca que a prova partindo desta expressão
é apenas uma extensão da idéia "do grande teólogo-matemático-cientista-escritor francês Blaise Pascal" que provou a fórmula para a soma dos
primeiros quadrados a partir desta expansão:
Eis a demonstração geométrica:
Começando no ponto
, assentamos segmentos sucessivos de comprimentos
etc. e finalmente um de comprimento
atingindo o ponto
.
Fazemos o mesmo sobre a reta
perpendicular a
, de modo que
A
área do quadrado é, portanto,
Entretanto, o quadrado é a soma de
regiões em forma de
, indicadas na figura:
Qual é a
área de
? Essa região pode ser dividida em dois retângulos, como na figura. Assim
Conseqüentemente,
e comparando
e
temos
Bons estudos e até mais!
-
admin
- Colaborador Administrador - Professor
-
- Mensagens: 886
- Registrado em: Qui Jul 19, 2007 10:58
- Formação Escolar: GRADUAÇÃO
- Área/Curso: Licenciatura em Matemática IME-USP
- Andamento: formado
Voltar para Polinômios
Se chegou até aqui, provavelmente tenha interesse pelos tópicos relacionados abaixo.
Aproveite a leitura. Bons estudos!
-
- [Transformação Linear] Nucleo e Imagem, ache a transformaçao
por vualas » Qua Nov 07, 2012 00:37
- 2 Respostas
- 3930 Exibições
- Última mensagem por adauto martins
Qui Dez 15, 2016 11:12
Álgebra Linear
-
- [polinômio]Relações de Girard + raízes de polinômio
por matano2104 » Qui Set 05, 2013 17:02
- 1 Respostas
- 6829 Exibições
- Última mensagem por young_jedi
Qui Set 05, 2013 17:57
Polinômios
-
- Transformação
por barbara-rabello » Ter Nov 20, 2012 14:30
- 1 Respostas
- 1630 Exibições
- Última mensagem por MarceloFantini
Ter Nov 20, 2012 15:02
Álgebra Linear
-
- transformação
por zenildo » Qui Jun 05, 2014 23:53
- 1 Respostas
- 2454 Exibições
- Última mensagem por Russman
Sex Jun 06, 2014 01:53
Conversão de Unidades
-
- Transformação em produto
por Ananda » Seg Mar 24, 2008 17:31
- 3 Respostas
- 5285 Exibições
- Última mensagem por Ananda
Ter Mar 25, 2008 14:55
Trigonometria
Usuários navegando neste fórum: Nenhum usuário registrado e 1 visitante
Assunto:
Taxa de variação
Autor:
felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44
Como resolvo uma questao desse tipo:
Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?
A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é
Alguem me ajuda? Agradeço desde já.
Assunto:
Taxa de variação
Autor:
Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47
V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3
V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³
Derivando:
dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3
Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s
Assunto:
Taxa de variação
Autor:
Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17
Temos que o volume é dado por:
Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:
Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:
Powered by phpBB © phpBB Group.
phpBB Mobile / SEO by Artodia.