Duas questões de complexos

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Duas questões de complexos

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Duas questões de complexos

Mensagempor Joseaugusto » Seg Abr 09, 2012 10:43

Olá amigos, travei com esses dois exercicios de complexos, e não encontro resolução na internet. Agradeceria a quem me indicar o caminho a ser seguido para resolve-los


(UFU) A soma das raizes distintas da equação z² + 2R(z) + 1 = 0, onde z é um numero complexo e R(z) denota a parte real de Z é igual a:
R: -1

(ITA) Sejam x e y numeros reais, com x =/= 0 (x diferente de zero), satisfazendo (x + iy)² = (x +y)i. Então:
R: x é raiz da equação x³ + 3x² + 2x - 6
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Re: Duas questões de complexos

Mensagempor fraol » Seg Abr 09, 2012 18:46

(1)

z^2 + 2Re(z) + 1 = 0

Seja z = a + bi, com Re(z) = a, então

z^2 + 2Re(z) + 1 = 0 \iff z^2 + 2a + 1 = 0 \iff z^2 = -(2a + 1)

Note que z^2 = a^2 - b^2 + 2abi = -(2a + 1) não possui parte imaginária donde concluímos que b = 0.

Assim

a^2 - b^2 + 2abi + 2a + 1 = 0 => a^2 + 2a + 1 = 0, de onde sai a = -1 ( raiz dupla ).

Portanto a soma das raízes distintas é igual a -1.

(2)

(x + iy)^2 = (x + y)i

x^2 - y^2 + 2xyi = (x + y)i , note que no segundo membro não temos parte real, então

x^2 - y^2 = 0 => x = y.

ou

2xyi = (x + y)i => 2xy = x + y \iff 2x^2 = 2x \iff

x = y = 0 ou x = y = 1.

Comox \ne 0 entãox = 1 (que é a raiz real do polinômio dado).

(Obs. o ideal é que se crie um tópico para cada questão no forum.)

.
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Re: Duas questões de complexos

Mensagempor Joseaugusto » Ter Abr 10, 2012 09:47

Sou implicado com complexos por causa disso, os exercícios são fáceis... depois que voce aprende como faze-los *-)

obrigado pela ajuda fraol, coloquei as duas questões em um unico post pra não encher demais o forum, na próxima eu faço certo.
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Re: Duas questões de complexos

Mensagempor fraol » Ter Abr 10, 2012 10:35

Há matemáticos que dizem que os complexos só o são no nome. Valeu.
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1-3=m(-3-1) \Leftrightarrow -2=-4m \Leftrightarrow m=\frac{2}{4} \Leftrightarrow m=\frac{1}{2}

Em y=mx+b substitui-se m, substitui-se y e x por um dos pares ordenados, e resolve-se em ordem a b.

3=\frac{1}{2} \cdot 1+b\Leftrightarrow 3-\frac{1}{2}=b \Leftrightarrow b=\frac{5}{2}



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Completando o quadrado,

(x^2-5x+\frac{25}{4})+9-\frac{25}{4} =0\Leftrightarrow (x-\frac{5}{2})^2+\frac{11}{4}=0

As coordenadas do vertice da parabola são (\frac{5}{2},\frac{11}{4})

O eixo de simetria é a reta x=\frac{5}{2}.Como se pode observar o vertice está acima do eixo Ox, estando parabola virada para cima, o vertice é um mínimo absoluto.Então basta calcular a função para os valores dos extremos do intervalo.

f(-7)=93
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