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Duas questões de complexos

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Duas questões de complexos

por Joseaugusto » Seg Abr 09, 2012 10:43

Olá amigos, travei com esses dois exercicios de complexos, e não encontro resolução na internet. Agradeceria a quem me indicar o caminho a ser seguido para resolve-los

(UFU) A soma das raizes distintas da equação z² + 2R(z) + 1 = 0, onde z é um numero complexo e R(z) denota a parte real de Z é igual a:
R: -1

(ITA) Sejam x e y numeros reais, com x =/= 0 (x diferente de zero), satisfazendo (x + iy)² = (x +y)i. Então:
R: x é raiz da equação x³ + 3x² + 2x - 6

Joseaugusto: Novo Usuário; Mensagens: 5; Registrado em: Ter Mar 06, 2012 11:16; Formação Escolar: ENSINO MÉDIO; Andamento: formado

Re: Duas questões de complexos

por fraol » Seg Abr 09, 2012 18:46

(1)

z^2 + 2Re(z) + 1 = 0

Seja

z = a + bi

, com

Re(z) = a

, então

$z^2 + 2Re(z) + 1 = 0 \iff z^2 + 2a + 1 = 0 \iff z^2 = -(2a + 1)$

Note que z^2 = a^2 - b^2 + 2abi = -(2a + 1)

z^2 = a^2 - b^2 + 2abi = -(2a + 1)

não possui parte imaginária donde concluímos que b = 0.

b = 0.

Assim

a^2 - b^2 + 2abi + 2a + 1 = 0 => a^2 + 2a + 1 = 0

, de onde sai a = -1

a = -1

( raiz dupla ).

Portanto a soma das raízes distintas é igual a -1.

(2)

(x + iy)^2 = (x + y)i

(x + iy)^2 = (x + y)i

x^2 - y^2 + 2xyi = (x + y)i

, note que no segundo membro não temos parte real, então

x^2 - y^2 = 0 => x = y

x^2 - y^2 = 0 => x = y

.

ou

$2xyi = (x + y)i => 2xy = x + y \iff 2x^2 = 2x \iff$

x = y = 0

x = y = 0

ou

x = y = 1

.

Como $x \ne 0$ então x = 1

x = 1

(que é a raiz real do polinômio dado).

(Obs. o ideal é que se crie um tópico para cada questão no forum.)

.

fraol: Colaborador Voluntário; Mensagens: 392; Registrado em: Dom Dez 11, 2011 20:08; Localização: Mogi das Cruzes-SP; Formação Escolar: GRADUAÇÃO; Área/Curso: Matemática; Andamento: formado

Re: Duas questões de complexos

por Joseaugusto » Ter Abr 10, 2012 09:47

Sou implicado com complexos por causa disso, os exercícios são fáceis... depois que voce aprende como faze-los *-)

*-)

obrigado pela ajuda fraol, coloquei as duas questões em um unico post pra não encher demais o forum, na próxima eu faço certo.

Joseaugusto: Novo Usuário; Mensagens: 5; Registrado em: Ter Mar 06, 2012 11:16; Formação Escolar: ENSINO MÉDIO; Andamento: formado

Re: Duas questões de complexos

por fraol » Ter Abr 10, 2012 10:35

Há matemáticos que dizem que os complexos só o são no nome. Valeu.

fraol: Colaborador Voluntário; Mensagens: 392; Registrado em: Dom Dez 11, 2011 20:08; Localização: Mogi das Cruzes-SP; Formação Escolar: GRADUAÇÃO; Área/Curso: Matemática; Andamento: formado

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Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: Alucard014 - Dom Ago 01, 2010 18:22

(UNESP - 95) Seja L o Afixo de um Número complexo $a=\sqrt{8}+ i$ em um sistema de coordenadas cartesianas xOy. Determine o número complexo b , de módulo igual a 1 , cujo afixo M pertence ao quarto quadrante e é tal que o ângulo LÔM é reto.

Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: MarceloFantini - Qui Ago 05, 2010 17:27

Seja $\alpha$ o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo

. O triângulo é retângulo com catetos

e $\sqrt{8}$ , tal que $tg \alpha = \frac{1}{sqrt{8}}$ . Seja $\theta$ o ângulo complementar. Então $tg \theta = \sqrt{8}$ . Como $\alpha + \theta = \frac{\pi}{2}$ , o ângulo que o afixo

formará com a horizontal será $\theta$ , mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se b = x+yi

b = x+yi

, então $\frac{y}{x} = \sqrt {8} \Rightarrow y = x\sqrt{8}$ . Como módulo é um: $|b| = \sqrt { x^2 + y^2 } = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 8x^2 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{8}}{3}$ .

Logo, o afixo é $b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}$ .

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