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Números Complexos na forma trigonométrica

Números Complexos na forma trigonométrica

Mensagempor geriane » Seg Jul 05, 2010 12:16

Calcule o módulo do complexo {(\frac{4}{1-i\sqrt[2]{3}}})^{-8}.
Obrigada!
geriane
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Re: Números Complexos na forma trigonométrica

Mensagempor Tom » Seg Jul 05, 2010 12:57

(\dfrac{4}{1-i\sqrt{3}})^{-8}=(\dfrac{1-i\sqrt{3}}{4})^8=\dfrac{(1-i\sqrt{3})^8}{4^8}

Analisemos : z=1-i\sqrt{3}:

Usando as definições: |z|=2 e o argumento de z é \theta=\dfrac{5\pi}{6}

Assim, escrevendo z na forma polar: z=2(cos\dfrac{5\pi}{6}+i.sen\dfrac{5\pi}{6}) e usando a propriedade de potenciação para complexos:

z^8=2^8(cos\dfrac{8.5\pi}{6}+i.sen\dfrac{8.5\pi}{6})=2^8(cos\dfrac{20\pi}{3}+i.sen\dfrac{20\pi}{3}) e , com a redução do arco ao primeiro quadrente,
z^8=2^8(cos\dfrac{2\pi}{3}+i.sen\dfrac{2\pi}{3})


Voltando a expressão: \dfrac{(1-i\sqrt{3})^8}{4^8}=\dfrac{2^8(cos\dfrac{2\pi}{3}+i.sen\dfrac{2\pi}{3})}{2^{16}}=\dfrac{(cos\dfrac{2\pi}{3}+i.sen\dfrac{2\pi}{3})}{2^8}=\dfrac{\frac{-1}{2}+\frac{\sqrt{3}i}{2}}{2^8}

Finalmente, o valor da expressão é: \dfrac{-1+\sqrt{3}i}{512}
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Re: Números Complexos na forma trigonométrica

Mensagempor geriane » Seg Jul 05, 2010 13:34

Tom, fico muito agradecida só que o resultado final do exercício é 1/256 e não estou conseguindo chegar a esse resultado eu fiz dessa maneira que você fez só q não consigo chegar ao resultado.
geriane
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Re: Números Complexos na forma trigonométrica

Mensagempor Elcioschin » Seg Jul 05, 2010 16:10

Tom/Geriane

A solução do Tom, esta perfeita do ponto de vista do encaminhamento. Faltou apenas:

a) Corrigir um pequeno erro de cálculo do argumento
b) Calcular o módulo no final

z = 1 - i*V3 ----> z = 2*(1/2 - i*V3/2) ----> ângulo do 4º quadrante ---> z = 2*[cos(5pi/3) + isen(5pi/3)]

Assim ----> teta = 5pi/3

z^8 = (2^8)*[cos(8*5pi/3) + i*sen(8*5pi/3)] ----> z = 2*[cos(40*pi/3) + i*sen(40*pi/3)]

Reduzindo ao 1º quadrante ---> z = (2~8)*[cos(4pi/3) +i*sen(4pi/3)]

z = (2^8)*[- 1/2 - i*V3/2)

Neste caso o valor da expressão é (- 1 - V3*i)/512

|z|² = (1/512)²*[(-1)² + (-V3)²] ---> |z|² = (1/512)²*(1 + 3) ----> |z|² = 4/512² ----> |z|² = 2²/512²

|z = 2/512 ----> |z| = 1/256
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Re: Números Complexos na forma trigonométrica

Mensagempor geriane » Seg Jul 05, 2010 17:00

Obrigada Tom e Elcio pela atenção !!!!!!!!!
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Re: Números Complexos na forma trigonométrica

Mensagempor Tom » Seg Jul 05, 2010 23:04

Desculpe, acho que copiei errado quando passei a questão pro caderno. ;)
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Assunto: [Função] do primeiro grau e quadratica
Autor: Thassya - Sáb Out 01, 2011 16:20

1) Para que os pontos (1,3) e (-3,1) pertençam ao grafico da função f(X)=ax + b ,o valor de b-a deve ser ?

2)Qual o maior valor assumido pela função f : [-7 ,10] em R definida por f(x) = x ao quadrado - 5x + 9?

3) A função f, do primeiro grau, é definida pos f(x)= 3x + k para que o gráfico de f corte o eixo das ordenadas no ponto de ordenada 5 é?


Assunto: [Função] do primeiro grau e quadratica
Autor: Neperiano - Sáb Out 01, 2011 19:46

Ola

Qual as suas dúvidas?

O que você não está conseguindo fazer?

Nos mostre para podermos ajudar

Atenciosamente


Assunto: [Função] do primeiro grau e quadratica
Autor: joaofonseca - Sáb Out 01, 2011 20:15

1)Dados dois pontos A=(1,3) e B=(-3,1) de uma reta, é possivel definir a sua equação.

y_{b}-y_{a}=m(x_{b}-x_{a})

1-3=m(-3-1) \Leftrightarrow -2=-4m \Leftrightarrow m=\frac{2}{4} \Leftrightarrow m=\frac{1}{2}

Em y=mx+b substitui-se m, substitui-se y e x por um dos pares ordenados, e resolve-se em ordem a b.

3=\frac{1}{2} \cdot 1+b\Leftrightarrow 3-\frac{1}{2}=b \Leftrightarrow b=\frac{5}{2}



2)Na equação y=x^2-5x+9 não existem zeros.Senão vejamos

Completando o quadrado,

(x^2-5x+\frac{25}{4})+9-\frac{25}{4} =0\Leftrightarrow (x-\frac{5}{2})^2+\frac{11}{4}=0

As coordenadas do vertice da parabola são (\frac{5}{2},\frac{11}{4})

O eixo de simetria é a reta x=\frac{5}{2}.Como se pode observar o vertice está acima do eixo Ox, estando parabola virada para cima, o vertice é um mínimo absoluto.Então basta calcular a função para os valores dos extremos do intervalo.

f(-7)=93
f(10)=59