[Números Complexos] Representação geométrica

por **mota_16** » Sáb Dez 28, 2013 23:10

Nesse caso, como faço para descrever geometricamente. Percebi que tenho uma soma de distâncias, mas não consegui avançar.

O subconjunto do plano complexo $A=\left[z\in C/\left|z-i \right|+\left|z+i \right|=1 \right]$ deve ser descrito geometricamente como:

a) uma circunferência
b) uma hipérbole
c) uma elipse
d) uma parábola
e) duas retas

por **e8group** » Dom Dez 29, 2013 16:50

Um número complexo

se exprimir por x + iy

(x,y sobre $\mathbb{R}$ ) . Agora suponha que $z \in A$ ,então a propriedade |z -i| + |z+i|=1

é verdadeira e substituindo z por x + iy

,obterá a soma de módulos de dois números complexos . Lembre-se |z|^2 = x^2+y^2

.

Agora tente concluir .

por **mota_16** » Seg Dez 30, 2013 14:42

Santhiago eu substituí e obtive:

$\left|x+iy-i \right|+\left|x+iy+i \right|=1$

Pensei em colocar i em evidência:

$\left|x+i(y-1) \right|+\left|x+i(y+1) \right|=1$

Como $\left|z \right|={x}^{2}+{y}^{2}$ . Pensei em elevar ambos os membros ao quadrado, mas encontrei resultados que não me ajudaram. É isso? Esse é o caminho?

por **e8group** » Seg Dez 30, 2013 18:36

Está no caminho certo . Antes de elevar ao quadrado ,trabalhe apenas com um radical ao lado da igualdade .Logo após eleve ao quadrado e faça as simplificações e comente o que conseguiu .

por **mota_16** » Seg Dez 30, 2013 20:38

Vamos lá...

$\left|x+i\left(y-1 \right) \right|+\left|x+i\left(y+1 \right) \right|=1$

$\left|x+i\left(y-1 \right) \right|=1-\left|x+i\left(y+1 \right) \right|$

Elevando ambos os membros ao quadrado:

$\left( \left|x+i\left(y-1 \right) \right| \right)^2=\left( 1-\left|x+i\left(y+1 \right) \right| \right)^2$

$\left( \left|x+i\left(y-1 \right) \right| \right)^2=1-2\left|x+i\left(y+1 \right) \right|+\left|x+i\left(y+1 \right) \right|^2$

Aqui pensei em usar a propriedade: $\left|{x}^{2} \right|=\left|x \right|^2={x}^{2}$

Então:

$\left[x+i\left(y-1 \right) \right]^2=1-2\left|x+i\left(y+1 \right) \right|+\left[x+i\left(y+1 \right) \right]^2$

Observe que fiquei com o módulo apenas no segundo termo do segundo membro da igualdade.

${x}^{2}+2xi\left(y-1 \right)+{i}^{2}\left(y-1 \right)^2=1-2\left|x+i\left(y+1 \right) \right|+{x}^{2}+2xi\left(y+1 \right)+{i}^{2}\left(y+1 \right)^2$

Como: ${i}^{2}= -1$

${x}^{2}+2xi\left(y-1 \right)-\left(y-1 \right)^2=1-2\left|x+i\left(y+1 \right) \right|+{x}^{2}+2xi\left(y+1 \right)-\left(y+1 \right)^2$

${x}^{2}+2xi\left(y-1 \right)-\left({y}^{2}-2y+1 \right)=1-2\left|x+i\left(y+1 \right) \right|+{x}^{2}+2xi\left(y+1 \right)-\left({y}^{2}+2y+1 \right)$

${x}^{2}+2xi\left(y-1 \right)-{y}^{2}+2y-1 \right)=1-2\left|x+i\left(y+1 \right) \right|+{x}^{2}+2xi\left(y+1 \right)-y}^{2}-2y-1 \right)$

Efetuando a simplificação:

$2xi\left(y-1 \right)+2y-1 \right)=-2\left|x+i\left(y+1 \right) \right|+2xi\left(y+1 \right)-2y \right)$

E aqui eu não consegui avançar no sentido de resolver o problema.

por **e8group** » Seg Dez 30, 2013 21:07

Boa noite. Um número complexo se escreve como z = a + ib

(a,b reais) e seu valor absoluto é por definição $|z| = \sqrt{a^2+b^2}$ ou |z|^2 =a^2+b^2

. (Há um interpretação geométrica p/ isso,este abs pode ser encontrado via Teorema de Pitágoras ) .

Prosseguindo ...

$z \in A \iff |z-i| + |z+i| = 1$ .Pondo $z:= x + yi ; x,y \in \mathbb{R}$ ,resulta

$|(x+yi)- i| + |(x+yi) + i| = 1 \iff | x + (y-1)i| + | x + (1+y)i| = 1 (*)$ .

Seja z_1 = x + (y-1)i