Números complexos

por **andersontricordiano** » Sex Mar 21, 2014 16:44

Qual é o valor de $\sum_{n=0}^{100$ $i^{n}$ ?

Resposta; 1

por **Russman** » Sáb Mar 22, 2014 00:46

Esta questão não é difícil.

Lembre-se que i^1 = i

,

,

e

. Assim,

Agora, calculemos $i^{k} + i^{k+1} +i^{k+2} +i^{k+3}$ para um k natural qualquer. É fácil notar que

$i^{k} + i^{k+1} +i^{k+2} +i^{k+3} = i^k + i^k . i + i^k . i^2 + i^ k . i^3 = i^k ( 1+i+i^2+i^3) = i^k( 1+i - 1 - i) = i^k(0) = 0$

Ou seja, a soma de 4 potências sucessivas da unidade imaginária é sempre nula.

Como a sua soma será efetuada de

até

e

, então teremos uma primeira parcela que é i^0=1

e mais 25 conjuntos de 4 parcelas de potências sucessivas de

. Daí, como esses 25 conjuntos de parcelas são todos nulos, sobra apenas o número 1.

$\sum_{n=0}^{100}i^n = 1+\sum_{n=1}^{100}i^n = 1+ \sum_{k=1+4j,j=0}^{k=25,j=6} i^k + i^{k+1}+ i^{k+2}+ i^{k+3} = 1+\sum_{j=0}^{6} i^{4j}(1+i^2+i^3+i^4) = 1+ \sum_{j=0}^{6} 1(1-1-i+1)=1+0 = 1$ .

Ou, basta lembrar q essa soma é a soma de uma progressão geométrica de termo primeiro igual a

e razão igual a

.

$\sum_{n=0}^{N}q^n = \frac{a^{N+1}-1}{q-1}$

Faça q=i

e

.

$\sum_{n=0}^{100}i^n = \frac{i^{100+1}-1}{i-1} = \frac{i^{100}.i-1}{i-1}=\frac{i^{4.25}.i-1}{i-1} = \frac{(i^{4})^{25}.i-1}{i-1} = \frac{(1)^{25}.i-1}{i-1} = \frac{i-1}{i-1} = 1$

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