[módulo número complexo] Ajuda questao

por **filipetrr** » Qui Jun 27, 2013 10:43

Bom dia,

Sou novo no forum e estou postando pela primeira vez para tirar as seguintes duvidas: Segue questões.

Dentro do disco D={z: |z-i|? 3/2}, no plano complexo, o número de pontos z=n+mi, onde i2=-1, com n e m sendo números inteiros, é:
(A) 4
(B) 5
(C) 8
(D) 9

No plano complexo, o subconjunto dos números definido por M = {z?C: |z +1| + |z ?1| = 4} representa
a) um segmento de reta.
b) uma hipérbole.
c) uma parábola.
d) uma elipse.

Não são questões muito difíceis, mas eu terminei o ensino médio tem algum tempo já e não consigo fazer e nos meus livros só aborda o básico sobre número complexo e não tem nenhum exemplo desse tipo, se puderem dar uma luz pra mim seria muito bom.

por **adauto martins** » Qua Jan 07, 2015 17:03

1) ${\left|z-i \right|}^{2}\preceq 9/4=2.25\prec 3$ ...
$({n+(m-1)i})^{2}={n}^{2}-({m-1})^{2}+2n(m-1)i\prec 3\Rightarrow {n}^{2}-{(m-1)}^{2}\prec 3;2n(m-1)=0$
se $m-1=0 e n\neq 0\Rightarrow m=1,{n}^{2}\prec 3\Rightarrow (-1,1),(0,1),(1,1)$ satisafaz as condiçoes...
se $n=0,-{(m-1)}^{2}\prec 3\Rightarrow {(m-1)}^{2}\succ -3\Rightarrow {m}^{2}-2m+1\succ -3\Rightarrow {m}^{2}-2m+4\succ 0$ q. nao tem raizes reais...logo nao podemos ter (0,m) q. satisfaz as condiçoes de soluçao...

por **Russman** » Qua Jan 07, 2015 23:35

filipetrr escreveu:Dentro do disco D={z: |z-i|? 3/2}, no plano complexo, o número de pontos z=n+mi, onde i2=-1, com n e m sendo números inteiros, é:
(A) 4
(B) 5
(C) 8
(D) 9

Tomando

facilmente desenvolvemos

$\left | z-i \right | \leq \frac{3}{2} \Rightarrow \left | x+i(y-1) \right | \leq \frac{3}{2} \Rightarrow x^2+(y-1)^2 \leq \frac{9}{4}$

que é um círculo de raio $\frac{3}{2}$ e centro em (0,1)

.

Agora, fazendo y=0

temos

$x^2+(0-1)^2 \leq \frac{9}{4} \Rightarrow x^2 \leq \frac{5}{4} \Rightarrow \left | x \right | \leq \frac{\sqrt{5}}{2} \Rightarrow - \frac{\sqrt{5}}{2} \leq x \leq \frac{\sqrt{5}}{2}$

o que configura, para $x \in\mathbb{Z}$ , x=0

ou $x = \pm 1$ .

Portanto, temos de analisar quais valores de $y \in\mathbb{Z}$ fazem par com estes três valores possíveis de

Para

calculamos

$0^2+(y-1)^2 \leq \frac{9}{4} \Rightarrow (y-1)^2 \leq \frac{9}{4} \Rightarrow \left | y-1 \right | \leq \frac{3}{2} \Rightarrow - \frac{3}{2} \leq y-1 \leq \frac{3}{2} \Rightarrow 1- \frac{3}{2} \leq y \leq \frac{3}{2}+1 \Rightarrow -\frac{1}{2} \leq y \leq \frac{5}{2}$

que configura, para $y \in\mathbb{Z}$ , y=0

,

ou

.

Para $x=\pm 1$ calculamos

$(\pm 1)^2+(y-1)^2 \leq \frac{9}{4} \Rightarrow (y-1)^2 \leq \frac{5}{4} \Rightarrow \left | y-1 \right | \leq \frac{\sqrt{5}}{2} \Rightarrow - \frac{\sqrt{5}}{2} \leq y-1 \leq \frac{\sqrt{5}}{2} \Rightarrow 1- \frac{\sqrt{5}}{2} \leq y \leq \frac{\sqrt{5}}{2}+1$

que configura, para $y \in\mathbb{Z}$ , y=0

,

ou

.

Assim, temos no total 9 pontos no interior do círculo com coordenadas inteiras.

por **Russman** » Qui Jan 08, 2015 00:08

filipetrr escreveu:No plano complexo, o subconjunto dos números definido por M = {z?C: |z +1| + |z ?1| = 4} representa
a) um segmento de reta.
b) uma hipérbole.
c) uma parábola.
d) uma elipse.

É uma elipse.

Basta desenvolver os módulos e manipular os termos.

por **adauto martins** » Qui Jan 08, 2015 11:00

ah havia me esquecido da condiçao de ...se m=n=0

tbem satisfaz a condiçao,entao as soluçoes sao...
(0,0),(0,1),(-1,0),(1,1)...logo letra a)

por **adauto martins** » Qui Jan 08, 2015 11:28

revendo aqui a soluçao dada pelo colega rusmann e a correta...

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