[Raiz número complexo] Exercício fora do padrão

por **Bruno G Carneiro** » Sex Jun 08, 2012 20:54

Estou estudando equações diferenciais e para solucionar algumas é necessário encontrar algumas raízes em números complexos.

O livro deu um exemplo e passou algumas questões, mas uma delas foge o padrão do exemplo e eu não estou conseguindo resolver.

Equações Diferenciais, Boyce e DiPrima, Seção 4.2, Ex 8

Determine a raiz do número complexo dado]
$(1-i)^{\frac{1}{2}}$

$1-1i = e^{7\frac{pi}{4} + 2m*pi}$
$(1-1i)^{\frac{1}{2}} = cos(7 \frac{pi}{8} + m*pi) + i sen(7 \frac{pi}{8} + m*pi)$

Como prosseguir? Não sei como calcular o cos e o sen de 7/8 pi...

Resposta do livro: $2^{1/4}e^{(-pi*i)/8} , 2^{1/4}e^{(7pi*i)/8}$

por **fraol** » Qua Jun 20, 2012 22:35

Boa noite,

O desenvolvimento de $(1 -i)^{\frac{1}{2}}$ é o seguinte:

O número complexo é 1 - i

, então:

seu módulo é $\sqrt{1^2+(-1)^2} = \sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}$ e

seu argumento é $\theta = - \frac{\pi}{4}$ .

Do Teorema de Moivre vem que: $(1 -i)^{\frac{1}{2}} = {(2^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}}} \left[ cos(- \frac{\frac{\pi}{4}}{\frac{1}{2}}) + i sen(- \frac{\frac{\pi}{4}}{\frac{1}{2}}) \right] = 2^{\frac{1}{4}} \left[ cos(- \frac{\pi}{8} ) + i sen(- \frac{\pi}{8} ) \right]$ .

Pela Relação de Euler temos que $\left[ cos(- \frac{\pi}{8}) + i sen(- \frac{\pi}{8}) \right] = e^{ - i \frac{\pi}{8}}$ .

Agora juntemos os dois últimos resultados e chegamos a:

$(1 -i)^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{1}{4}} e^{- i \frac{\pi}{8}}$ .

.