Números Complexos

por **michelle** » Dom Ago 31, 2008 15:35

Há como resolver essa questão sem usar as relações trigonometricas???

(Unifei-M) Considerando os números complexos r = 1+ i e s = 1- i , pode-se afirmar que o produto ${r}^{12}.{s}^{-11}$ vale:
A. s .
B. 2r .
C. 2s .
D. r .

Alguém pode me ajudar???

por **admin** » Dom Ago 31, 2008 18:46

Olá Michelle, boa tarde, seja bem-vinda ao fórum!

Uma alternativa seria utilizar a identidade do binômio de Newton, considerando a potência do número complexo $\left( x+yi \right)^n$ , com $n \in \math{Z}$ , mas acredito que daria muito mais trabalho.
Neste tópico há uma resposta minha com uma citação a esta identidade: http://www.ajudamatematica.com/viewtopic.php?f=114&t=148

Você conseguiu fazer de alguma forma?
Este exercício fica bem interessante e envolve várias tarefas ao escrever os números complexos na forma trigonométrica (ou polar), encontrando o módulo $\rho$ e o argumento $\theta$ .
Sendo

este complexo, não nulo:
$z = \rho (cos\;\theta + isen\;\theta)$

É importante já aqui visualizar estes conceitos com a representação do número complexo no plano de Argand-Gauss, revise este assunto.

Em seguida, para a potenciação na forma polar, utilizamos o resultado de um teorema, a chamada fórmula de Moivre, com

inteiro:
$z^n = \rho^n (cos\;n\theta + isen\;n\theta)$

Uma das tarefas intermediárias aqui será a redução ao 1º quadrante, ao calcular as potências.
Você deverá obter 1-i

como resposta para o produto, ou seja,

, alternativa (a).

:idea:

Outra dica:
Calcule separadamente, numerador e denominador deste quociente $\frac{r^{12}}{s^{11}}$ .

Bons estudos e comente suas dúvidas...
Espero ter ajudado!

por **michelle** » Dom Ago 31, 2008 20:22

Tentei resolver assim:
$\frac{{(1+i)}^{12}}{{(1-i)}^{11}}=\frac{{({(1+i)}^{2})}^{6}}{(1-i).{(1-i)}^{10}}=\frac{{(2i)}^{6}}{(1-i){(-2i)}^{5}}=\frac{-64}{(1-i).-32.i}$