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Dúvida em igualdade de somatório com combinacoes

Dúvida em igualdade de somatório com combinacoes

Mensagempor mdroid » Dom Mar 25, 2012 16:04

Boa tarde.

tenho o seguinte problema para resolver mas estou com dúvidas:

Problema: Verificar se é verdadeira a seguinte igualdade e justificar:
\sum_{i=0}^{n}i\binom{m}{i}\binom{n}{i} = \frac{(m+n-1)!}{(m-1)!(n-1)!}


Após analisar, percebi que se fosse \sum_{i=0}^{n}\binom{m}{i}\binom{n}{i}, (sem o i a multiplicar por \binom{m}{i}\binom{n}{i})
aplicando a lei da simetria dava \sum_{i=0}^{n}\binom{m}{i}\binom{n}{n-i}
e aplicando a convolução de vandermonde \sum_{i=0}^{n}\binom{m}{i}\binom{n}{n-i} =\binom{m+n}{n} e depois continuava-se sem o somatório.

A minha pergunta é como eu lido com o i dentro do somatório de forma a validar a igualdade inicial? Pelas propriedades dos somatório que conheço, não é possível passar o i para fora do somatório.

Obrigado.
mdroid
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Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 10:38

Olá ! Tenho essa dúvida e não consigo montar o problema para resolução:

Qual é o racional não nulo cujo o quadrado é igual à sua terça parte ?

Grata.


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: MarceloFantini - Sex Fev 18, 2011 12:27

x^2 = \frac{x}{3}


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 12:55

também pensei que fosse assim, mas a resposta é \frac{1}{3}.

Obrigada Fantini.


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: MarceloFantini - Sex Fev 18, 2011 13:01

x^2 = \frac{x}{3} \Rightarrow x^2 - \frac{x}{3} = 0 \Rightarrow x \left(x - \frac{1}{3} \right) = 0

Como x \neq 0:

x - \frac{1}{3} = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{3}

O que você fez?


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 16:17

eu só consegui fazer a igualdade, não consegui desenvolver o restante, não pensei em fatoração, mas agora entendi o que vc fez.

Obrigada.