[DUV] Somatório Binomial Complicado

por **Imscatman** » Qui Mar 17, 2011 18:27

Olá. É minha primeira postagem aqui.

No FME, de Samuel Hazzan, empaquei nessa questão (303, p. 75):

Determine o valor de

${A}_{n} = \sum_{p = 0}^{n} {n \choose p} ({2}^{p}{3}^{n-p} - {4}^{p})$

para todo n > 0.

Expandir o somatório me pareceu intratável. Pensei em colocar $({2}^{p}{3}^{n-p} - {4}^{p})$ na forma $({x}^{n-p}{a}^{p})$ , o que me permitiria resolver facilmente, mas não consegui fazer isso. E tampouco vejo um modo de "compensar" esse $-{4}^{p}$ , rs. Como fazer?

por **LuizAquino** » Qui Mar 17, 2011 18:33

Dicas

i) $\sum_i (a_i + b_i) = \sum_i a_i + \sum_i b_i$

ii) $4^p = 4^p1^{n-p}$

por **Elcioschin** » Qui Mar 17, 2011 18:53

Outra dica

Lembre-se também que, para (x + y)^n ----> Tp+1 = C(n,p)*(y^p)*x^(n-p)

No 1º somatório faça x = 2 , y = 3 e no 2º somatório faça x = 4 , y = 1

por **Imscatman** » Qui Mar 17, 2011 19:00

Nossa, que absurdamente simples!

${A}_{n} = \sum_{p = 0}^{n} {n \choose p} ({3}^{n-p}{2}^{p}) - \sum_{p = 0}^{n} {n \choose p}({1}^{n-p}{4}^{p})$

${A}_{n} = {(3 + 2)}^{n} - {(1 + 4)}^{n}$

${A}_{n} = 0$

A dica (i) eu não ia sacar sozinho, apesar de ser gritantemente óbvia depois que se a entende, rs.

Muito obrigado!