Provar igualdade sem recorrer à Indução Matemática

por **EREGON** » Ter Abr 14, 2015 06:29

Bom dia,

estou com dificuldades em efectuar esta prova sem recorrer à IM, no entanto tendo como suporte as matérias já dadas, como:

1 - Funções Injetivas, sobrejetivas e bijeticvas.
2 - Cardinalidades.
3 - Coeficientes binomiais.
4 - Permutações e combinações.
5 - Binomio de Newton, triangulo de pascal, lei de simetria, etc.

Tentei fazer este desenvolvimento que não sei se está correto, mas depois não consegui avançar mais *-)

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por **EREGON** » Qui Abr 16, 2015 14:07

Olá boa tarde,

alguém me poderá auxiliar neste exercício?

Obrigado.

por **e8group** » Sex Abr 17, 2015 23:12

Podemos generalizar , computar $\sum^n k^\alpha \binom{n}{k}$ recursivamente em função das somas $]\sum^n k^\zeta \binom{n}{k} ; 0 \leq \zeta < \alpha$ .

Defina , para $\alpha , n \in \mathbb{Z}_{\geq 0$ , $\Lambda_n(\alpha) := \sum_{k=1}^n k^\alpha \binom{n}{k}$ .

Veja que $\Lambda_n(0) = 2^n -1$ (verifique ) . Fixe $\mathbb{Z}_{\geq 0 }\ni n, \alpha > 0$ arbitrariamente .

Para cada $k \in \{1, \hdots , n \}$ , veja que

$k^\alpha \binom{n}{k} = k^\alpha \frac{n!}{(n-k)!k!} = k^{\alpha -1}\frac{n!}{(n-k)!(k-1)!} = n k^{\alpha -1}\frac{(n-1)!}{(n-k)!(k-1)!} = n k^{\alpha -1}\frac{(n-1)!}{((n-1)-(k-1) )!(k-1)! } = n k^{\alpha -1} \binom{n-1}{k-1}$ .

Pondo , p = k -1

, temos $k^\alpha \binom{n}{k} = n (p+1)^{\alpha -1 } \binom{n-1}{p} , p \in \{0, \hdots , n-1\}$ .

Como ,

$(p+1)^{\alpha -1 } = \sum_{\zeta = 0}^{\alpha -1} p^\zeta \binom{\alpha -1}{\zeta }$ , substituindo na expressão acima , temos

$k^\alpha \binom{n}{k} = n \sum_{\zeta = 0}^{\alpha -1} p^\zeta \binom{\alpha -1}{\zeta } \binom{n-1}{p} , p \in \{0, \hdots , n-1\}$ . Finalmente , substituindo esta expressão na soma , vem

$\sum_{k=1}^n k^\alpha \binom{n}{k} = \sum_{p=0}^{n-1} n \sum_{\zeta = 0}^{\alpha -1} p^\zeta \binom{\alpha -1}{\zeta } \binom{n-1}{p} = n \sum_{\zeta = 0}^{\alpha -1} \left(\sum_{p=0}^{n-1} p^\zeta \binom{n-1}{p} \right) \binom{\alpha -1}{\zeta } = n+ n\sum_{\zeta = 0}^{\alpha -1} \left(\sum_{p=1}^{n-1} p^\zeta \binom{n-1}{p} \right) \binom{\alpha -1}{\zeta } = n+n\sum_{\zeta = 0}^{\alpha -1} \Lambda_{n-1}(\zeta) \binom{\alpha -1}{\zeta }$ , ou seja

$\Lambda_n(\alpha) = \boxed{n+ n \sum_{\zeta = 0}^{\alpha -1} \Lambda_{n-1}(\zeta) \binom{\alpha -1}{\zeta }}$ .

Agora somos capazes facilmente , de computar por exemplo $\Lambda_n(1)$ . De acordo com a formula acima ,

$\Lambda_n(1) =n+ n \sum_{\zeta = 0}^{0} \Lambda_{n-1}(\zeta) \binom{0}{\zeta } = n+ n \Lambda_{n-1}(0) = n+ n (2^{n-1} -1) = n2^{n-1}$ .

o exercício é um corolário do resultado acima ... Segue-se então que

$\sum_{k=1}^n k^2 \binom{n}{k} = \Lambda_n(2) = n+ n \sum_{\zeta = 0}^{1} \Lambda_{n-1}(\zeta) \binom{1}{\zeta } = n+ n( \Lambda_{n-1}(0)+\Lambda_{n-1}(1) ) = n( 2^{n-1} + (n-1)2^{n-2}) = n(n+1)2^{n-2}$ .