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por Humberto Batista » Ter Out 28, 2014 09:32
Bom dia!
Estudo pra concurso em minha casa e após ter resolvido diversas questões triviais de Binômio de Newton com aplicação de formula, me deparei com essa questão aonde não consegui evoluir na sua resolução.
Sejam a e b dois números reais quaisquer e p um número primo. Raramente é verdade que
Em alguns casos a igualdade ocorre, quais casos são esses?
Desde já agradeço a atenção de todos.
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Humberto Batista
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por e8group » Ter Out 28, 2014 12:32
Perceba que se pelo menos um dos números reais a,b for nulo , é claro que a =dade é verificada .Agora suponha ambos não nulos . Se p é primo , e temos
certamente
é impar (basta verificar que o caso p = 2 ) . Pro caso mais geral , temos graças ao teor. Binomial
que pode ser escrito como
.Devemos então estudar quando ,
para a,b não nulos que equivale estudar a igualdade abaixo
.(basta dividir ambos lados por ab) .
Agora a cada fixado não nulo façamos corresponder um polinômio de grau p-2 dado por ,
.
Afirmação : O polinômio acima possui ao menos uma raíz real . (exercício )
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e8group
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por Humberto Batista » Ter Out 28, 2014 13:51
Olá santiago, obrigado pela resposta.
Vá por favor vá desculpando a minha ignorância, estou retomando aos estudos e matemática não é o meu forte, tenho dificuldades de entender. Quer dizer que a igualdade só ocorre quando "a" ou "b" for nulo?
santhiago escreveu:Perceba que se pelo menos um dos números reais a,b for nulo , é claro que a =dade é verificada .Agora suponha ambos não nulos . Se p é primo , e temos
certamente
é impar (basta verificar que o caso p = 2 ) . Pro caso mais geral , temos graças ao teor. Binomial
que pode ser escrito como
.Devemos então estudar quando ,
para a,b não nulos que equivale estudar a igualdade abaixo
.(basta dividir ambos lados por ab) .
Agora a cada fixado não nulo façamos corresponder um polinômio de grau p-2 dado por ,
.
Afirmação : O polinômio acima possui ao menos uma raíz real . (exercício )
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Humberto Batista
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por e8group » Ter Out 28, 2014 15:48
Humberto Batista escreveu:Olá santiago, obrigado pela resposta.
Vá por favor vá desculpando a minha ignorância, estou retomando aos estudos e matemática não é o meu forte, tenho dificuldades de entender. Quer dizer que a igualdade só ocorre quando "a" ou "b" for nulo?
Olá ! Não necessariamente , podemos ter pares de números nao nulos os quais satisfazem a equação . Tome a = 3 e b = -3 .De forma geral fixado qualquer b , pondo a = -b tem-se a igualdade para qualquer p primo maior q 2(na verdade p/ qq impar tbm vale ) .Evidentemente temos mais soluções que estas ,explicitar a forma geral das soluções talvez não seja simples , entretanto podemos provar a existência de tal soluções .Todo polinômio de grau impar possui pelo menos uma raiz real ( isso pq estes a imagem destes polinômios oscilam o sinal para valores arbitrariamente grandes ( negativamente e positivamente ) do seu domínio e são funções continuas , daí o teorema do valor intermediário assegura a existência da raiz real , mas não sei se vc está familiarizado com estes conceitos ) .Embora deparamos com a infinitude de pares (a,b) que satisfazem a eq. , há mais pares de números reais que não satisfazem a igualdade do q se possa imaginar .
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e8group
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por Russman » Ter Out 28, 2014 23:50
Achei a questão interessante e , portanto, gostaria de fazer alguns comentários.
De fato, podemos escrever
Aqui fixamos o valor de
e buscamos valores de
tal que
. Evidentemente,
é solução. Note que
Também,
é solução para
. Note que
já que se p é primo(e portanto ímpar)
.
Disto, notamos que
é sempre divisível por
. Assim, reescrevemos
, onde
. [O subíndice p é para mostrar que para cada p existe um polinômio diferente.]
No que o grau de
é
. Como
é primo e todo primo(a exceção de 2) é ímpar o número
é ímpar também. Assim, o grau de
é ímpar e o teorema das raízes assegura que existe ao menos uma raíz real para este. Claro, esta raíz é
como já verificamos anteriormente. De fato, podemos escrever
onde
é o resultado da divisão de
por
.
Outro fato interessante é que
é sempre divisível por
, para p ímpar. Acredito que não seja muito dificil de mostrar isso.
Além disso( o que é um pouco mais difícil) é mostrar que
é também sempre divisível por
.
De fato,
que é nulo toda vez que
, com
. Mas, esta expressão captura todos os números
divisíveis por 6 e , portanto(quase certeza que), todos os primos. Daí,
é sempre divisível por
. Assim, podemos escrever
O problema então se resume a relacionar
com
e estabelecer as condições de existência de raízes reais para o polinômio
. Eu acredito que as mesmas não existam.
"Ad astra per aspera."
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Russman
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Assunto:
método de contagem
Autor:
sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 09:10
Veja este exercício:
Se A = {
} e B = {
}, então o número de elementos A
B é:
Eu tentei resolver este exercício e achei a resposta "três", mas surgiram muitas dúvidas aqui durante a resolução.
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?
No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:
existe oposto de zero?
existe inverso de zero?
zero é par, certo?
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x?
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z?
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z?
A resposta é 3?
Obrigado.
Assunto:
método de contagem
Autor:
Molina - Seg Mai 25, 2009 20:42
Boa noite, sinuca.
Se A = {
} você concorda que n só pode ser de 1 a 20? Já que pertence aos naturais?
Ou seja, quais são os divisores de 20? Eles são seis: 1, 2, 4, 5, 10 e 20.
Logo, o conjunto A é
A = {1, 2, 4, 5, 10, 20}
Se B = {
} você concorda que x será os múltiplos de 5 (positivos e negativos)? Já que m pertence ao conjunto Z?
Logo, o conjunto B é
B = {... , -25, -20, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, 20, 25, ...
Feito isso precisamos ver os números que está em ambos os conjuntos, que são:
5, 10 e 20 (3 valores, como você achou).
Vou responder rapidamente suas dúvidas porque meu tempo está estourando. Qualquer dúvida, coloque aqui, ok?
sinuca147 escreveu:No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:
existe oposto de zero? sim, é o próprio zero
existe inverso de zero? não, pois não há nenhum número que multiplicado por zero resulte em 1
zero é par, certo? sim, pois pode ser escrito da forma de 2n, onde n pertence aos inteiros
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x? Sim, pois basta pegar x e multiplicar por -1 que encontramos -x
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z? Sim, tais perguntando se todo número é multiplo de si mesmo
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z? Sim, pois basta pegar -z e multiplicar por -1 que encontramos x
A resposta é 3? Sim, pelo menos foi o que vimos a cima
Bom estudo,
Assunto:
método de contagem
Autor:
sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 23:35
Obrigado, mas olha só este link
http://www.colegioweb.com.br/matematica ... ro-natural
neste link encontra-se a a frase:
Múltiplo de um número natural é qualquer número que possa ser obtido multiplicando o número natural por 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.
Para determinarmos os múltiplos de 15, por exemplo, devemos multiplicá-lo pela sucessão dos números naturais:
Ou seja, de acordo com este link -5 não poderia ser múltiplo de 5, assim como 5 não poderia ser múltiplo de -5, eu sempre achei que não interessava o sinal na questão dos múltiplos, assim como você me confirmou, mas e essa informação contrária deste site, tem alguma credibilidade?
Há e claro, a coisa mais bacana você esqueceu, quero saber se existe algum método de contagem diferente do manual neste caso:
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?
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