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De expoente para coeficiente

De expoente para coeficiente

Mensagempor Jhenrique » Qua Out 31, 2012 02:39

Caros, saudações!

(a+b)^n com n>2 é muito fácil de resolver, basta aplicar os conceitos do triângulo de pascal e adeus expoente!

Mas o que eu gostaria de saber é: (1) se é possível simplificar (simplificar no sentido de eliminar o expoente) uma equação cujo coeficiente não é dado, ou seja, ele é uma letra; e (2) é possível simplificar uma expressao do tipo (a+b)^{\frac{1}{n}} ?

Mto obg!
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Re: De expoente para coeficiente

Mensagempor Russman » Qua Out 31, 2012 05:42

A expansão de (a+b)^n pelo Binômio de Newton vale para qualquer n racional.
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Re: De expoente para coeficiente

Mensagempor MarceloFantini » Qua Out 31, 2012 07:08

Segundo a Wikipedia Russman, é possível até para reais ou complexos. Sobre sua primeira pergunta, não entendi. Você quer algo como (a+b)^x e eliminar o expoente?
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Re: De expoente para coeficiente

Mensagempor Jhenrique » Qua Out 31, 2012 18:04

A seguinte expressão (a+b)^2 pode ser expressa como (a^2+2ab+b^2) (eu havia expressado esse desenvolvimento como "eliminando o expoente", me expressei mal).

A seguinte expressão (a+b)^3 pode ser expressa como (a^3+a^2b+ab^2+b^3).

Mas e quanto as expressões do tipo (a+b)^\frac{1}{2} , (a+b)^\frac{1}{3} , etc... existe alguma forma de desenvolvê-las?

E se eu quiser desenvolver, como fiz acima, a seguinte expressão (a+b)^n, a Wikipedia demonstra uma solução com o uso de somatório, entretanto, eu queria saber se existe alguma maneira mais prática, sem somatório.
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Re: De expoente para coeficiente

Mensagempor MarceloFantini » Qua Out 31, 2012 18:50

Jhenrique escreveu:A seguinte expressão (a+b)^2 pode ser expressa como (a^2+2ab+b^2) (eu havia expressado esse desenvolvimento como "eliminando o expoente", me expressei mal).

A seguinte expressão (a+b)^3 pode ser expressa como (a^3+a^2b+ab^2+b^3).

Mas e quanto as expressões do tipo (a+b)^\frac{1}{2} , (a+b)^\frac{1}{3} , etc... existe alguma forma de desenvolvê-las?

E se eu quiser desenvolver, como fiz acima, a seguinte expressão (a+b)^n, a Wikipedia demonstra uma solução com o uso de somatório, entretanto, eu queria saber se existe alguma maneira mais prática, sem somatório.

Sua segunda expressão está errada, o correto é (a+b)^3 = a^3 + 3 a^2 b + 3 a b^2 + b^3. O somatório é apenas um artifício para escrever uma expressão de uma forma mais simples, compacta. Não a torna mais fácil ou difícil. Somatórios são práticos.
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Re: De expoente para coeficiente

Mensagempor Jhenrique » Qua Out 31, 2012 18:51

Jhenrique escreveu:Mas e quanto as expressões do tipo (a+b)^\frac{1}{2} , (a+b)^\frac{1}{3} , etc... existe alguma forma de desenvolvê-las?

E se eu quiser desenvolver, como fiz acima, a seguinte expressão (a+b)^n, a Wikipedia demonstra uma solução com o uso de somatório, entretanto, eu queria saber se existe alguma maneira mais prática, sem somatório.
?
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.


Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s


Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}