[Aplicação da expansão binomial]

por **Gustavo Gomes** » Sex Out 26, 2012 21:33

Pessoal, a figura abaixo mostra uma rede de canos de água que tem início no ponto A. Quando se coloca água nesse ponto, ela flui para baixo de tal modo que, em cada ponto assinalado, a água que chega pelo cano superior se distribui igualmente pelos dois canos inferiores.

: b.png (13.13 KiB) Exibido 3175 vezes

Se um litro de água é colocado em A, qual é o volume de água, em litros, que chegará a B?

A resposta é $\frac{15}{64}$ . Manualmente, analisando a trajetória da água em cada ponto do sistema, cheguei ao resultado, no entanto, percebi que as quantidades de água escoadas em cada ponto correspondem a frações cujo numerador é obtido pelos coeficientes binomiais e o denominador é representado pela soma desses coeficientes em cada linha - ${2}^{n}$ , onde n: número da linha (pensando no triângulo de Pascal).
Não entendi essa relação, ou seja, não consegui modelar o problema por meio desses conceitos matemáticos. Como eu poderia pensar essa questão.
Grato.

por **MarceloFantini** » Sáb Out 27, 2012 08:27

Matematicamente é como você falou. A distribuição será dada pelos coeficientes binomiais, enquanto que a soma deve permanecer constante e igual a um. Precisa lembrar que $\sum_{i=0}^n \binom{n}{i} = 2^n$ , portanto $\frac{\sum_{i=0}^n \binom{n}{i}}{2^n} = 1$ . No caso do exercício, é a terceira linha, logo você terá $\frac{\binom{6}{2}}{2^6} = \frac{15}{64}$ .

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Re: [Aplicação da expansão binomial]

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