Questão de binomio de newton

por **d7carvalho** » Qua Set 22, 2010 00:48

Oi, pessoal,
Espero que me ajudem nessa:

Determine n e p inteiros, de modo que:

$\frac{\left(\frac{n}{p} \right)}{1} = \frac{\left(\frac{n}{p + 1} \right)}{2} = \frac{\left(\frac{n}{p + 2} \right)}{3}$

Aguardo ansiosamente.

Desde já, valeu!

por **alexandre32100** » Qui Set 23, 2010 21:46

$\dfrac{\dbinom{n}{p}}{1}=\dfrac{\dbinom{n}{p+1}}{2}=\dfrac{\dbinom{n}{p+2}}{3}$
Comparando os dois primeiros termos e usando a fórmula algébrica:
$\dfrac{n!}{p!(n-p)!}=\dfrac{n!}{2(p+1)!(n-p-1)!}\iff \dfrac{n!}{p!(n-p)(n-p-1)!}=\dfrac{n!}{2(p+1)p!(n-p-1)!}$
Simplificando...
$\dfrac{1}{n-p}=\dfrac{1}{2(p+1)}\iff n-p=2p+2\iff n-3p=2$
Da mesma forma
$\dfrac{n!}{3(p+2)!(n-p-2)!}=\dfrac{n!}{2(p+1)!(n-p-1)!}\iff \dfrac{n!}{3(p+2)(p+1)!(n-p-2)!}=\dfrac{n!}{2(p+1)!(n-p-1)(n-p-2)!}$
Simplificando novamente
$\dfrac{1}{3(p+2)}=\dfrac{1}{2(n-p-1)}\iff3p+6=2n-2p-2\iff 2n-5p=8$

Basta resolver o sistema abaixo
$\begin{cases}n-3p=2\\ 2n-5p=8\end{cases}$
E chegamos a n=14