Desenvolvimento de binômios

[Jonatan]

Os três primeiros coeficientes do desenvolvimento de segundo as potências decrescentes de x estão em PA. O valor de n é um número:

a) primo
b) quadrado perfeito
c) cubo perfeito
d) maior que 9 e menor que 15

Gabarito: c) cubo perfeito.

Alguém poderia resolver essa questão pra mim? Não faço ideia de como desenvolver sem saber o valor do expoente n... Desde já agradeço.

[Douglasm]

Olá Jonatan. Comecemos lembrando do desenvolvimento binomial (prestando muita atenção ao 1/2x) e estabelecendo os coeficientes:

1º -

2º -

3º -

Note que as divisões por 2 e por 8 se deram por termos elevado 1/2x a primeira e segunda potência, respectivamente.

Como esta é uma P.A., os coeficientes se encontram na seguinte forma:



Em que a representa n/2 e r a razão da progressão.

É evidente que:



Do mesmo modo:







Encontrando as raízes dessa equação, vemos que n = 8 (haja vista que o resultado n=1 não satisfaz as condições do problema). Continuando, concluímos que n é um cubo perfeito.

Até a próxima.