Desenvolvimento de binômios

por **Jonatan** » Qua Jun 16, 2010 18:12

Os três primeiros coeficientes do desenvolvimento de $\left({x}^{2}+\frac{1}{2x} \right)^{n}$ segundo as potências decrescentes de x estão em PA. O valor de n é um número:

a) primo
b) quadrado perfeito
c) cubo perfeito
d) maior que 9 e menor que 15

Gabarito: c) cubo perfeito.

Alguém poderia resolver essa questão pra mim? Não faço ideia de como desenvolver sem saber o valor do expoente n... Desde já agradeço.

por **Douglasm** » Qua Jun 16, 2010 21:34

Olá Jonatan. Comecemos lembrando do desenvolvimento binomial (prestando muita atenção ao 1/2x) e estabelecendo os coeficientes:

1º - $C_{n,0} = 1$

2º - $\frac{C_{n,1}}{2} = \frac{n}{2}$

3º - $\frac{C_{n,2}}{8} = \frac{n^2-n}{8}$

Note que as divisões por 2 e por 8 se deram por termos elevado 1/2x a primeira e segunda potência, respectivamente.

Como esta é uma P.A., os coeficientes se encontram na seguinte forma:

$a-r \; , \; a \; , \; a+r$

Em que a representa n/2 e r a razão da progressão.

É evidente que:

a-r + a + a+r = 3a

Do mesmo modo:

$1 + \frac{n}{2} + \frac{n^2-n}{8} = 3\frac{n}{2} \; \therefore$

$8 + 4n + n^2 - n = 12n \therefore$

n^2 - 9n + 8 = 0

Encontrando as raízes dessa equação, vemos que n = 8 (haja vista que o resultado n=1 não satisfaz as condições do problema). Continuando, concluímos que n é um cubo perfeito.

Até a próxima.

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