Somatórios

por **Douglasm** » Ter Fev 23, 2010 11:17

Eu resolvi a seguinte questão e encontrei uma resposta diferente do gabarito. Eis a questão:

Calcule $\sum_{k=0}^n (k+1) C_n ^k$ .

Minha resolução:

$\sum_{k=0}^n (k+1) C_n ^k$ = $\sum_{k=0}^n (k+1).\sum_{k=0}^n C_n ^k$

$\sum_{k=0}^n (k+1) C_n ^k$ = $2^n \sum_{k=0}^n C_{k+1} ^1$

(Os resultados são obtidos através dos teoremas das colunas e das linhas do triângulo de Pascal, respectivamente.)

$\sum_{k=0}^n (k+1) C_n ^k$ = $C_{n+2} ^2 . 2^n$ = $(n+2)(n+1).2^{n-1}$

No gabarito a resposta é somente $(n+2).2^{n-1}$

Será que estou fazendo errado mesmo ou o gabarito esqueceu o (n+1)?

por **Mathmatematica** » Dom Jun 06, 2010 21:44

Olá Douglas!
Infelizmente você está fazendo errado. A passagem $\sum^n_{k=0}(k+1)C^k_{n}=\sum^n_{k=0}(k+1)\sum^n_{k=0}C^k_n$ está errada. Não entendi muito bem o que é C^k_n

(não seria C^n_k

?).
Mas voltando ao erro: o fator (k+1)

possui um

e o

no somatório está variando. Da mesma forma, o fator C^k_n

também possui um

e, no somatório, o

varia. Como o que eu sei sobre somatório é pouco vou tentar explicar com um contra-exemplo para aquela passagem:

$\sum^n_{k=1}k^2=1^2+2^2+3^2+ \cdots + n^2$

$\left(\sum^n_{k=1}k\right)^2=(1+2+3+4+5+ \cdots n)^2$

Como podemos perceber $\sum^n_{k=1}k^2\ne \left(\sum^n_{k=1}k\right)^2$ . De acordo com a sua passagem teríamos:

$\sum^n_{k=1}k^2=\sum^n_{k=1}k.k=\sum^n_{k=1}k\sum^n_{k=1}k=\left(\sum^n_{k=1}k\right)^2$

Espero que tenha entendido. (Vou estudar mais o assunto.... Preciso explicar melhor!!!)

por **Douglasm** » Dom Jun 06, 2010 22:42

Olá Mathmatematica. Obrigado por trazer a tona essa questão (ela é de 3 meses atrás =P), pois hoje consegui resolvê-la, graças a Gauss! Vou postar aqui para o caso de alguém se interessar:

$\sum_{k=0}^n (k+1) C_k^n = 1.(C_0^n) + 2.(C_1^n) + ... + n.(C_{n-1}^n) + (n+1).(C_n^n)$

Lembrando que:

$C_0^n = C_n^n \; ; \; C_1^n = C_{n-1}^n \; (...)$

Somando os termos nas extremidades:

$\sum_{k=0}^n (k+1) C_k^n = \frac{(n+2) \sum_{k=0}^n C_k^n}{2}$ $\therefore$

$\sum_{k=0}^n (k+1) C_k^n = (n+2)2^{n-1}$

Até a próxima.

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