[Binomio de Newton] Quando ocorre igualdade?

por **Humberto Batista** » Ter Out 28, 2014 09:32

Bom dia!

Estudo pra concurso em minha casa e após ter resolvido diversas questões triviais de Binômio de Newton com aplicação de formula, me deparei com essa questão aonde não consegui evoluir na sua resolução.

Sejam a e b dois números reais quaisquer e p um número primo. Raramente é verdade que (a+b)^p = a^p+b^p

Em alguns casos a igualdade ocorre, quais casos são esses?

Desde já agradeço a atenção de todos.

por **e8group** » Ter Out 28, 2014 12:32

Perceba que se pelo menos um dos números reais a,b for nulo , é claro que a =dade é verificada .Agora suponha ambos não nulos . Se p é primo , e temos (a+ b)^p = a^p + b^p

certamente

é impar (basta verificar que o caso p = 2 ) . Pro caso mais geral , temos graças ao teor. Binomial

$(a+b)^p = \sum_{k=0}^p \binom{p}{k}a^k \cdot b^{p-k}$ que pode ser escrito como

$(a+b)^p = a^p + b^p + \sum_{k=1}^{p-1}\binom{p}{k}a^k \cdot b^{p-k}$ .Devemos então estudar quando ,

$\sum_{k=1}^{p-1}\binom{p}{k}a^k \cdot b^{p-k} = 0$ para a,b não nulos que equivale estudar a igualdade abaixo

$\sum_{k= 0}^{p-2} \binom{p}{k} a^k b^{p-2-k} = 0 (*)$ .(basta dividir ambos lados por ab) .

Agora a cada fixado não nulo façamos corresponder um polinômio de grau p-2 dado por , $p(x) = \sum_{k= 0}^{p-2} \binom{p}{k} b^{p-2-k} x^k$ .

Afirmação : O polinômio acima possui ao menos uma raíz real . (exercício )

por **Humberto Batista** » Ter Out 28, 2014 13:51

Olá santiago, obrigado pela resposta.

Vá por favor vá desculpando a minha ignorância, estou retomando aos estudos e matemática não é o meu forte, tenho dificuldades de entender. Quer dizer que a igualdade só ocorre quando "a" ou "b" for nulo?

santhiago escreveu:Perceba que se pelo menos um dos números reais a,b for nulo , é claro que a =dade é verificada .Agora suponha ambos não nulos . Se p é primo , e temos certamente é impar (basta verificar que o caso p = 2 ) . Pro caso mais geral , temos graças ao teor. Binomial

$(a+b)^p = \sum_{k=0}^p \binom{p}{k}a^k \cdot b^{p-k}$ que pode ser escrito como

$(a+b)^p = a^p + b^p + \sum_{k=1}^{p-1}\binom{p}{k}a^k \cdot b^{p-k}$ .Devemos então estudar quando ,

$\sum_{k=1}^{p-1}\binom{p}{k}a^k \cdot b^{p-k} = 0$ para a,b não nulos que equivale estudar a igualdade abaixo

$\sum_{k= 0}^{p-2} \binom{p}{k} a^k b^{p-2-k} = 0 (*)$ .(basta dividir ambos lados por ab) .

Agora a cada fixado não nulo façamos corresponder um polinômio de grau p-2 dado por , $p(x) = \sum_{k= 0}^{p-2} \binom{p}{k} b^{p-2-k} x^k$ .

Afirmação : O polinômio acima possui ao menos uma raíz real . (exercício )

por **e8group** » Ter Out 28, 2014 15:48

Humberto Batista escreveu:Olá santiago, obrigado pela resposta.

Vá por favor vá desculpando a minha ignorância, estou retomando aos estudos e matemática não é o meu forte, tenho dificuldades de entender. Quer dizer que a igualdade só ocorre quando "a" ou "b" for nulo?

Olá ! Não necessariamente , podemos ter pares de números nao nulos os quais satisfazem a equação . Tome a = 3 e b = -3 .De forma geral fixado qualquer b , pondo a = -b tem-se a igualdade para qualquer p primo maior q 2(na verdade p/ qq impar tbm vale ) .Evidentemente temos mais soluções que estas ,explicitar a forma geral das soluções talvez não seja simples , entretanto podemos provar a existência de tal soluções .Todo polinômio de grau impar possui pelo menos uma raiz real ( isso pq estes a imagem destes polinômios oscilam o sinal para valores arbitrariamente grandes ( negativamente e positivamente ) do seu domínio e são funções continuas , daí o teorema do valor intermediário assegura a existência da raiz real , mas não sei se vc está familiarizado com estes conceitos ) .Embora deparamos com a infinitude de pares (a,b) que satisfazem a eq. , há mais pares de números reais que não satisfazem a igualdade do q se possa imaginar .

por **Russman** » Ter Out 28, 2014 23:50

Achei a questão interessante e , portanto, gostaria de fazer alguns comentários.

De fato, podemos escrever

(a+x)^p - a^p-x^p = W(x)

Aqui fixamos o valor de

e buscamos valores de

tal que

. Evidentemente, x=0

é solução. Note que

W(0) = (a+0)^p -a^p - 0^p = a^p-a^p=0

Também,

é solução para $p \neq 2$ . Note que

W(-a) = (a-a)^p -a^p - (-a)^p = -a^p+a^p=0

já que se p é primo(e portanto ímpar) (-a)^p=-a^p

.

Disto, notamos que W(x)

é sempre divisível por x(x+a)

. Assim, reescrevemos W(x) = xQ_p(x)

, onde

$Q_p(x) = \sum_{k=1}^{p-1}\binom{p}{k}a^{p-k}*x^{k-1}$ . [O subíndice p é para mostrar que para cada p existe um polinômio diferente.]

No que o grau de Q(x)

é

. Como

é primo e todo primo(a exceção de 2) é ímpar o número p-2

é ímpar também. Assim, o grau de Q(x)

é ímpar e o teorema das raízes assegura que existe ao menos uma raíz real para este. Claro, esta raíz é x=-a

como já verificamos anteriormente. De fato, podemos escrever

W(x) = x(x+a)Q'_p(x)

onde

é o resultado da divisão de Q_p(x)

por

.

Outro fato interessante é que W(x)

é sempre divisível por

, para p ímpar. Acredito que não seja muito dificil de mostrar isso.
Além disso( o que é um pouco mais difícil) é mostrar que W(x)

é também sempre divisível por (a^2 + ax+x^2)

.

De fato,

$W\left ( -\frac{a}{2}(1 \pm i\sqrt{3}) \right ) = a^p \left [ 2\cos(p\frac{\pi}{3})-1 \right ]$

que é nulo toda vez que $p = 6k \pm 1$ , com k=1,2,3,...