Eu já tentei de diversas maneiras mas o resultado dá sempre

por **sergiomorales** » Qui Jun 02, 2011 12:28

errado !
Calcule o termo ${x}^{5}$ no desenvolvimento de $\left{\left(\frac{a}{x}+\sqrt[2]{x} \right)}^{12}$ , muito obrigado !

Eu aprendi assim:

Numero de termos : 12 - p = 5 (cinco do potencia do x)

7 = p

Então seria : $\left(\frac{12}{7} \right)$ x ${\left(\frac{a}{x} \right)}^{5}$

Sergio

por **carlosalesouza** » Sáb Jun 04, 2011 02:34

Os mestres me amparem se eu estiver falando uma atrocidade... mas, vamos por parte...

Vamos analisar bem a situação...

Cada termo será definido pelo produto de um coeficiente por uma potência de cada termo, correto...

Note que o primeiro termo é a/x...
e o segundo raíz de x

Vejamos uma coisa... em cada termo, a raíz dividirá pela metade o expoente do segundo termo... e, como resultado do produto, o expoente do x do denominador do primeiro termo será subtraído do expoente segundo termo, que estará no numerador... correto?

Sabemos que um binomio elevado a n terá n+1 termos, correto? Este, então, terá 13 termos... sendo t a posição de cada termo no resultado, o expoente do primeiro termo do binômio é (n+1)-t e do segundo termo é t-1... tudo certo até agora?

Então, chamando o coeficiente do termo t de C_t

teremos:
$C_t \cdot \frac{a^{(n+1)-t}}{x^{(n+1)-t}}\cdot x^{\frac{t-1}{2}}$

Esse termo resultará em:
$C_t \cdot a \cdot x^{\frac{t-1}{2}-[(n+1)-t]}$

Como o que nos importa, no primeiro momento, é o expoente de x, que é 5:
$\\ \frac{t-1}{2}-[(n+1)-t] = 5\\ \frac{t-1}{2}-[(12+1)-t] = 5\\ \frac{t-1}{2}-[13-t]=5\\ \frac{t-1}{2}-13+t=5\\ \frac{t}{2}+t-13-\frac{1}{2}=5\\ \frac{t+2t}{2}=5+13+\frac{1}{2}\\ \frac{3t}{2}=\frac{10+26+1}{2}\\ 3t = 37\\ t = 37/3$

Como não existe tal termo, logo, não haverá, a rigor, um termo com x elevado a 5...
Para concluir o raciocínio... podemos desenvolver o binomio e veremos que os coeficientes serão:

1;12;66;220;495;792;792;792;495;220;66;12;1
cada um multiplicando $\left (\frac{a}{x}\right )^{(n+1)-t}(\sqrt x)^{t-1}$

Então teremos
$\\ 1\left[ \left (\frac{a}{x}\right )^{12}(\sqrt x)^0\right ] + 12\left[\left(\frac{a}{x} \right )^{11} (\sqrt x)^1 \right ] + 66 \left[\left(\frac{a}{x} \right )^{10} (\sqrt x)^2 \right ] + 220 \left[\left(\frac{a}{x} \right )^{9} (\sqrt x)^3 \right ] + 495 \left[\left(\frac{a}{x} \right )^{8} (\sqrt x)^4 \right ] + 792 \left[\left(\frac{a}{x} \right )^{7} (\sqrt x)^5 \right ] + 792 \left[\left(\frac{a}{x} \right )^{6} (\sqrt x)^6 \right ] + 792 \left[\left(\frac{a}{x} \right )^{5} (\sqrt x)^7 \right ] + 495 \left[\left(\frac{a}{x} \right )^{4} (\sqrt x)^8 \right ] + 220 \left[\left(\frac{a}{x} \right )^{3} (\sqrt x)^9 \right ] + 66 \left[\left(\frac{a}{x} \right )^{2} (\sqrt x)^{10} \right ] + 12 \left[\left(\frac{a}{x} \right )^{1} (\sqrt x)^{11} \right ] + 1 \left[\left(\frac{a}{x} \right )^{0} (\sqrt x)^{12} \right ]$

Que resultará, ainda, em:

$\\ 1\left[\frac{a^{12}\sqrt x ^{0}}{x^{12}} \right ] + 12\left[\frac{a^{11}\sqrt x ^{1}}{x^{11}} \right ] + 66\left[\frac{a^{10}\sqrt x ^{2}}{x^{10}} \right ] + 220\left[\frac{a^{9}\sqrt x ^{3}}{x^{9}} \right ] + 495\left[\frac{a^{8}\sqrt x ^{4}}{x^{8}} \right ] + 792\left[\frac{a^{7}\sqrt x ^{5}}{x^{7}} \right ] + 792\left[\frac{a^{6}\sqrt x ^{6}}{x^{6}} \right ] + 792\left[\frac{a^{5}\sqrt x ^{7}}{x^{5}} \right ] + 495\left[\frac{a^{4}\sqrt x ^{8}}{x^{4}} \right ] + 220\left[\frac{a^{3}\sqrt x ^{9}}{x^{3}} \right ] + 66\left[\frac{a^{2}\sqrt x ^{10}}{x^{2}} \right ] + 12\left[\frac{a^{1}\sqrt x ^{11}}{x^{1}} \right ] + 1\left[\frac{a^{0}\sqrt x ^{12}}{x^{0}} \right ]$

Vamos simplificar as raízes:
$\\ 1\left[\frac{a^{12}}{x^{12}} \right ] + 12\left[\frac{a^{11}\sqrt x }{x^{11}} \right ] + 66\left[\frac{a^{10}x}{x^{10}} \right ] + 220\left[\frac{a^{9}x\sqrt x}{x^{9}} \right ] + 495\left[\frac{a^{8}x ^{2}}{x^{8}} \right ] + 792\left[\frac{a^{7}x^2\sqrt x}{x^{7}} \right ] + 792\left[\frac{a^{6}x ^{3}}{x^{6}} \right ] + 792\left[\frac{a^{5}x ^{3}\sqrt x}{x^{5}} \right ] + 495\left[\frac{a^{4}x ^{4}}{x^{4}} \right ] + 220\left[\frac{a^{3}x ^{4}\sqrt x}{x^{3}} \right ] + 66\left[\frac{a^{2}x ^{5}}{x^{2}} \right ] + 12\left[\frac{ax ^{5}\sqrt x}{x^{1}} \right ] + 1\left[x ^{6}]$

E, agora, operar a divisão de x por x:

$\\ 1\left[\frac{a^{12}}{x^{12}} \right ] + 12\left[\frac{a^{11}\sqrt x }{x^{11}} \right ] + 66\left[\frac{a^{10}}{x^{9}} \right ] + 220\left[\frac{a^{9}\sqrt x}{x^{8}} \right ] + 495\left[\frac{a^{8}}{x^{6}} \right ] + 792\left[\frac{a^{7}\sqrt x}{x^{5}} \right ] + 792\left[\frac{a^{6}}{x^{3}} \right ] + 792\left[\frac{a^{5}\sqrt x}{x^{2}} \right ] + 495\left[a^{4}\right ] + 220\left[a^{3}x\right ] + 66\left[a^{2}x ^{3}\right ] + 12\left[ax ^{4}\sqrt x \right ] + 1\left[x ^{6}]$

E esta seria nossa criança...

Note que existe um termo com x elevado à quinta no denominador...

Não sei se este seria uma resposta aceitavel...

Como disse, rogo amparo aos mestres...

Um abraço

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