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[Análise combinatória] dúvida

[Análise combinatória] dúvida

Mensagempor Tiego » Qua Mai 09, 2012 10:32

Olá pessoal, estou com dúvida na seguinte questão:

Utilizando um argumento combinatório, mostre que

Cn,k= Cn-1,k-1 + Cn-1,k

Dica: fixe um elemento do conjunto, e conte o total de subconjuntos de tamanho k que contém o elemento e o total de subconjuntos de tamanho k que não o contém.

R.: Eu mostrei usando valores numéricos mas não sei se pode ser assim:

C5,2 = C4,1 + C4,2

C5,2 = 5!/(3!.2!) = 10
C4,1 = 4!/(3!.1!) = 4
C4,2 = 4!/(2!.2!)= 6

Portanto: Cn,k= Cn-1,k-1 + Cn-1,k

será que está correto?
Tiego
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Re: [Análise combinatória] dúvida

Mensagempor fraol » Qui Mai 10, 2012 22:41

Creio que a resposta que se quer para esse problema deva ser genérica, isto é deve-se usar argumentos genéricos e não um exemplo específico que é o que você apresentou. Assim uma possível resposta poderia ser a seguinte:


Utilizando um argumento combinatório, mostre que

Cn,k= Cn-1,k-1 + Cn-1,k

Dica: fixe um elemento do conjunto, e conte o total de subconjuntos de tamanho k que contém o elemento e o total de subconjuntos de tamanho k que não o contém.



C_{n,k} representa o número de subconjuntos distintos contendo k elementos de um total de n elementos.

Vamos fixar um elemento x dentre os n elementos.

O número de subconjuntos de k elementos em que x não aparece é igual a C_{n-1, k} ( veja que subtraímos 1 do total n pois é como-se combinássemos o conjunto sem o x ).

O número de subconjuntos de k elementos em que o x aparece é igual a C_{n-1, k-1} ( veja que subtraímos 1 do total n e do total de k pois como o x sempre aparece então restam n-1 elementos para serem combinados em subconjuntos de k-1 elementos cada ).

Em suma, o total de subconjuntos contendo k elementos é igual ao total de subconjuntos que não possuem um certo elemento somado com o total de subconjuntos que possuem esse certo elemento, isto é:

C_{n,k} = C_{n-1, k} + C_{n-1, k-1} .


.
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Re: [Análise combinatória] dúvida

Mensagempor joaofonseca » Qui Mai 17, 2012 08:32

Existe uma propriedade do triangulo de pascal que afirma:

\binom{n}{k}+\binom{n}{k-1}=\binom{n+1}{k}

A soma de dois termos consecutivos da mesma linha, k-1 e k respetivamente, é igual ao termo de ordem k da linha seguinte (n+1).

Seja n=p-1, logo:

\binom{p-1}{k}+\binom{p-1}{k-1}=\binom{p-1+1}{k}

\binom{p-1}{k}+\binom{p-1}{k-1}=\binom{p}{k}
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Assunto: cálculo de limites
Autor: Hansegon - Seg Ago 25, 2008 11:29

Bom dia.

Preciso de ajuda na solução deste problema, pois só chego ao resultado de 0 sobre 0.
Obrigado

\lim_{x\rightarrow-1} x³ +1/x²-1[/tex]


Assunto: cálculo de limites
Autor: Molina - Seg Ago 25, 2008 13:25

\lim_{x\rightarrow-1} \frac{{x}^{3}+1}{{x}^{2}-1}

Realmente se você jogar o -1 na equação dá 0 sobre 0.
Indeterminações deste tipo você pode resolver por L'Hôpital
que utiliza derivada.
Outro modo é transformar o numerador e/ou denominador
para que não continue dando indeterminado.

Dica: dividir o numerador e o denominador por algum valor é uma forma que normalmente dá certo. :y:

Caso ainda não tenha dado uma :idea:, avisa que eu resolvo.

Bom estudo!


Assunto: cálculo de limites
Autor: Guill - Dom Abr 08, 2012 16:03

\lim_{x\rightarrow-1}\frac{x^3+1}{x^2-1}

\lim_{x\rightarrow-1}\frac{(x+1)(x^2-x+1)}{(x+1)(x-1)}

\lim_{x\rightarrow-1}\frac{(x^2-x+1)}{(x-1)}=\frac{-3}{2}