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[Análise combinatória] dúvida

[Análise combinatória] dúvida

Mensagempor Tiego » Qua Mai 09, 2012 10:32

Olá pessoal, estou com dúvida na seguinte questão:

Utilizando um argumento combinatório, mostre que

Cn,k= Cn-1,k-1 + Cn-1,k

Dica: fixe um elemento do conjunto, e conte o total de subconjuntos de tamanho k que contém o elemento e o total de subconjuntos de tamanho k que não o contém.

R.: Eu mostrei usando valores numéricos mas não sei se pode ser assim:

C5,2 = C4,1 + C4,2

C5,2 = 5!/(3!.2!) = 10
C4,1 = 4!/(3!.1!) = 4
C4,2 = 4!/(2!.2!)= 6

Portanto: Cn,k= Cn-1,k-1 + Cn-1,k

será que está correto?
Tiego
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Re: [Análise combinatória] dúvida

Mensagempor fraol » Qui Mai 10, 2012 22:41

Creio que a resposta que se quer para esse problema deva ser genérica, isto é deve-se usar argumentos genéricos e não um exemplo específico que é o que você apresentou. Assim uma possível resposta poderia ser a seguinte:


Utilizando um argumento combinatório, mostre que

Cn,k= Cn-1,k-1 + Cn-1,k

Dica: fixe um elemento do conjunto, e conte o total de subconjuntos de tamanho k que contém o elemento e o total de subconjuntos de tamanho k que não o contém.



C_{n,k} representa o número de subconjuntos distintos contendo k elementos de um total de n elementos.

Vamos fixar um elemento x dentre os n elementos.

O número de subconjuntos de k elementos em que x não aparece é igual a C_{n-1, k} ( veja que subtraímos 1 do total n pois é como-se combinássemos o conjunto sem o x ).

O número de subconjuntos de k elementos em que o x aparece é igual a C_{n-1, k-1} ( veja que subtraímos 1 do total n e do total de k pois como o x sempre aparece então restam n-1 elementos para serem combinados em subconjuntos de k-1 elementos cada ).

Em suma, o total de subconjuntos contendo k elementos é igual ao total de subconjuntos que não possuem um certo elemento somado com o total de subconjuntos que possuem esse certo elemento, isto é:

C_{n,k} = C_{n-1, k} + C_{n-1, k-1} .


.
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Re: [Análise combinatória] dúvida

Mensagempor joaofonseca » Qui Mai 17, 2012 08:32

Existe uma propriedade do triangulo de pascal que afirma:

\binom{n}{k}+\binom{n}{k-1}=\binom{n+1}{k}

A soma de dois termos consecutivos da mesma linha, k-1 e k respetivamente, é igual ao termo de ordem k da linha seguinte (n+1).

Seja n=p-1, logo:

\binom{p-1}{k}+\binom{p-1}{k-1}=\binom{p-1+1}{k}

\binom{p-1}{k}+\binom{p-1}{k-1}=\binom{p}{k}
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Assunto: dúvida em uma questão em regra de 3!
Autor: leandro moraes - Qui Jul 01, 2010 12:41

pessoal eu achei como resultado 180 toneladas,entretanto sei que a questão está erra pela lógica e a resposta correta segundo o gabarito é 1.800 toneladas.
me explique onde eu estou pecando na questão. resolva explicando.

78 – ( CEFET – 1993 ) Os desabamentos, em sua maioria, são causados por grande acúmulo de lixo nas encostas dos morros. Se 10 pessoas retiram 135 toneladas de lixo em 9 dias, quantas toneladas serão retiradas por 40 pessoas em 30 dias ?


Assunto: dúvida em uma questão em regra de 3!
Autor: Douglasm - Qui Jul 01, 2010 13:16

Observe o raciocínio:

10 pessoas - 9 dias - 135 toneladas

1 pessoa - 9 dias - 13,5 toneladas

1 pessoa - 1 dia - 1,5 toneladas

40 pessoas - 1 dia - 60 toneladas

40 pessoas - 30 dias - 1800 toneladas


Assunto: dúvida em uma questão em regra de 3!
Autor: leandro moraes - Qui Jul 01, 2010 13:18

pessoal já achei a resposta. o meu erro foi bobo rsrsrrs errei em uma continha de multiplicação, é mole rsrsrsr mas felizmente consegui.


Assunto: dúvida em uma questão em regra de 3!
Autor: leandro moraes - Qui Jul 01, 2010 13:21

leandro moraes escreveu:pessoal já achei a resposta. o meu erro foi bobo rsrsrrs errei em uma continha de multiplicação, é mole rsrsrsr mas felizmente consegui.

valeu meu camarada.