estatística

por **von grap** » Ter Jan 31, 2012 16:10

OI pessoal, preciso de ajuda nessas duas questões de estatística.

(ENEM) O tabagismo (vício do fumo) é responsável por uma grande quantidade de doenças e mortes prematuras na atualidade. O Instituto Nacional de Câncer divulgou que "90% dos casos diagnosticadosde câncer de pulmão e 80% dos casos diagnosticados de efisema pulmonar estão associados ao consumo do tabaco". Paralelamente, foram mostrados os resultados de uma pesquisa realizada em um grupo de 2000 pessoas com doenças de pulmão, das quais 1500 são casos diagnosticados de câncer e 500 são casos diagnosticados de efisema.
Com base nessas inforações, pode-se estimar que o nº de fumantes desse grupo de 2000 pessoas é, aproximadamente:
a) 740 b) 1100 c) 1310 d) 1620 e) 1750

(Fuvest-SP) Numa classe com vinte alunos as notas do exame finalpodiam variar de 0 a 100 e a nota mínima para aprovação era 70. Realizado o exame, verificou-se que oito alunos foram reprovados. A média das notas desses oito alunos foi 65, enquanto a média dos aprovados foi 77. Após a divulgação dos resultados, o professor verificou que uma questão havia sido mal formulada e decidiu atribuir 5 pontos a mais para todos os alunos. Com essa decisão, a a média dos aprovados passou a ser 80 e a dos reprovados, 68,8.
a) Calcule a média aritmética das notas da classe toda antes da atribuição dos cinco pontos extras.
b) Com a atribuição dos cinco pontos extras, quantos alunos, inicialmente reprovados, atingiram nota para aprovação?

Valeu pessoal, fico no aguardo...

por **LuizAquino** » Ter Jan 31, 2012 20:31

von grap escreveu:(ENEM) O tabagismo (vício do fumo) é responsável por uma grande quantidade de doenças e mortes prematuras na atualidade. O Instituto Nacional de Câncer divulgou que "90% dos casos diagnosticados de câncer de pulmão e 80% dos casos diagnosticados de efisema pulmonar estão associados ao consumo do tabaco". Paralelamente, foram mostrados os resultados de uma pesquisa realizada em um grupo de 2000 pessoas com doenças de pulmão, das quais 1500 são casos diagnosticados de câncer e 500 são casos diagnosticados de efisema.
Com base nessas inforações, pode-se estimar que o nº de fumantes desse grupo de 2000 pessoas é, aproximadamente:
a) 740 b) 1100 c) 1310 d) 1620 e) 1750

Casos de câncer: 1500. Sabe-se que 90% desses casos estão associados ao consumo de tabaco. Então há $\frac{90}{100}\cdot 1500 = 1350$ fumantes.

Casos de efisema pulmonar: 500. Sabe-se que 80% desses casos estão associados ao consumo de tabaco. Então há $\frac{80}{100}\cdot 500 = 400$ fumantes.

Desse modo, o total de fumantes é 1350 + 400 = 1750.

von grap escreveu:Fuvest-SP) Numa classe com vinte alunos as notas do exame final podiam variar de 0 a 100 e a nota mínima para aprovação era 70. Realizado o exame, verificou-se que oito alunos foram reprovados. A média das notas desses oito alunos foi 65, enquanto a média dos aprovados foi 77. Após a divulgação dos resultados, o professor verificou que uma questão havia sido mal formulada e decidiu atribuir 5 pontos a mais para todos os alunos. Com essa decisão, a a média dos aprovados passou a ser 80 e a dos reprovados, 68,8.
a) Calcule a média aritmética das notas da classe toda antes da atribuição dos cinco pontos extras.
b) Com a atribuição dos cinco pontos extras, quantos alunos, inicialmente reprovados, atingiram nota para aprovação?

a)
$\begin{cases} \frac{n_1 + n_2 + \cdots + n_8}{8} = 65 \\ \frac{n_9 + n_{10} + \cdots + n_{20}}{12} = 77 \end{cases}$

$\begin{cases} n_1 + n_2 + \cdots + n_8 = 520 \\ n_9 + n_{10} + \cdots + n_{20} = 924 \end{cases}$

$n_1 + n_2 + \cdots + n_8 + n_9 + n_{10} + \cdots + n_{20}= 520 + 924$

$\frac{n_1 + n_2 + \cdots + n_8 + n_9 + n_{10} + \cdots + n_{20}}{20}= \frac{1444}{20}$

$\frac{n_1 + n_2 + \cdots + n_8 + n_9 + n_{10} + \cdots + n_{20}}{20}= 72,2$

b) Suponha que k alunos mudaram de reprovados para aprovados.

$\begin{cases} \frac{(n_1 + n_2 + \cdots + n_{8-k}) + 5(8-k)}{8-k} = 68,8 \\ \frac{(n_{8-k+1} +\cdots + n_{8} + n_9 + n_{10} + \cdots + n_{20}) + 5(12+k)}{12+k} = 80 \end{cases}$

$\begin{cases} n_1 + n_2 + \cdots + n_{8-k} = 63,8(8-k) \\ n_{8-k+1} +\cdots + n_{8} + n_9 + n_{10} + \cdots + n_{20} = 75(12+k) \end{cases}$

$n_1 + n_2 + \cdots + n_{20} = 63,8(8-k) + 75(12+k)$

1444 = 11,2k + 1410,4

$k = \frac{33,6}{11,2}$

k = 3

por **von grap** » Qui Fev 02, 2012 09:39

Olá Luis,

Valeu pela ajuda, mas não tem outra maneira de fazer a letra b? Confesso que não entendi muito bem a resolução.

por **LuizAquino** » Qui Fev 02, 2012 14:05

von grap escreveu:Valeu pela ajuda, mas não tem outra maneira de fazer a letra b? Confesso que não entendi muito bem a resolução.

Inicialmente haviam 8 notas de reprovados, que chamei de n_1

,

, ...,

.

Mas alguns alunos mudaram de reprovados para aprovado. Vamos supor que isso aconteceu com apenas 1 aluno. Desse modo, teríamos 8 - 1 = 7 notas de reprovados. Lembrando que cada nota aumentou 5 pontos, para tirar a nova média precisamos fazer:

$\frac{(n_1 + 5) + (n_2 + 5) + \cdots + (n_7 + 5)}{7}$

Como o 5 irá aparecer 7 vezes, podemos reescrever essa média como:

$\frac{(n_1 + n_2 + \cdots + n_7) + 5\cdot 7}{7}$

Agora suponha que isso aconteceu com k alunos. Desse modo, teríamos 8-k notas. Usando a mesma ideia apresentada acima, temos que a nova média será calculada por:

$\frac{(n_1 + n_2 + \cdots + n_{8-k}) + 5(8-k)}{8-k}$

Por outro lado, inicialmente haviam 12 notas de aprovados, que chamei de n_9

, $n_{10}$ , ..., $n_{20}$ .

Se k alunos mudaram de reprovados para aprovado, então o novo número de aprovados será 12+k.

Lembrando que até a nota $n_{8-k}$ temos reprovados, a partir da próxima nota, que é $n_{8-k+1}$ , temos aprovados. Usando a mesma ideia apresentada anteriormente, temos que a nova média será calculada por:

$\frac{(n_{8-k+1} +\cdots + n_{8} + n_9 + n_{10} + \cdots + n_{20}) + 5(12+k)}{12+k}$

Em seguida, eu usei as informações do exercício para montar o sistema:

$\begin{cases} \frac{(n_1 + n_2 + \cdots + n_{8-k}) + 5(8-k)}{8-k} = 68,8 \\ \frac{(n_{8-k+1} +\cdots + n_{8} + n_9 + n_{10} + \cdots + n_{20}) + 5(12+k)}{12+k} = 80 \end{cases}$

Agora tente entender a resolução a partir daí.

estatística

estatística

estatística

Re: estatística

Re: estatística

Re: estatística

Quem está online