Analise Combinatoria

por **menezesandrew** » Sex Mar 20, 2009 21:32

essa questão estou com dificuldades...

Usando uma vez a letra A, uma vez a letra B e n-2 vezes a letra C,
podemos formar 20 anagramas diferentes com n letras em cada anagrama.
Encontre o valor n.

por **Molina** » Ter Mar 31, 2009 20:14

boa noite, menezes.

vamos fazer a seguinte analise:
caso haja 1 A, 1 B e 1 C. Assim temos os seguintes anagramas:
ABC
ACB
BAC
BCA
CAB
CBA

ou seja, 6 anagramas.

caso haja 1 A, 1 B e 2 C. Assim temos os seguintes anagramas:
ABCC
ACBC
ACCB
BACC
BCAC
BCCA
CABC
CBAC
CACB
CBCA
CCAB
CCBA n=5

ou seja, 12 anagramas.

podemos entao generalizar para $\frac{(numerodeletras)!}{(numeroderepeticoes)!}$

$\frac{[1+1+(n-2)]!}{(n-2)!}=20 \Rightarrow \frac{n!}{(n-2)!}=20 \Rightarrow \frac{n*(n-1)*(n-2)!}{(n-2)!}=20 \Rightarrow {n}^{2}-n-20=0$

${n}_{1}=5$ e ${n}_{2}=-4$

como n-2 tem que ser positivo, n=5

abraços.

por **bmachado** » Sex Jun 08, 2012 00:17

Boa noite,

Alguem pode me explicar essa resolucao, pois, n entendi pq n! passou a n(n-1)(n-2) desculpe a ignorancia.Obrigado

Molina escreveu:boa noite, menezes.

vamos fazer a seguinte analise:
caso haja 1 A, 1 B e 1 C. Assim temos os seguintes anagramas:
ABC
ACB
BAC
BCA
CAB
CBA

ou seja, 6 anagramas.

caso haja 1 A, 1 B e 2 C. Assim temos os seguintes anagramas:
ABCC
ACBC
ACCB
BACC
BCAC
BCCA
CABC
CBAC
CACB
CBCA
CCAB
CCBA

ou seja, 12 anagramas.

podemos entao generalizar para $\frac{(numerodeletras)!}{(numeroderepeticoes)!}$

$\frac{[1+1+(n-2)]!}{(n-2)!}=20 \Rightarrow \frac{n!}{(n-2)!}=20 \Rightarrow \frac{n*(n-1)*(n-2)!}{(n-2)!}=20 \Rightarrow {n}^{2}-n-20=0$

${n}_{1}=5$ e ${n}_{2}=-4$

como n-2 tem que ser positivo,

abraços.

por **Molina** » Sáb Jun 09, 2012 14:15

Boa tarde, Machado.

bmachado escreveu:Boa noite,

Alguem pode me explicar essa resolucao, pois, n entendi pq n! passou a n(n-1)(n-2) desculpe a ignorancia.Obrigado

Molina escreveu:boa noite, menezes.

vamos fazer a seguinte analise:
caso haja 1 A, 1 B e 1 C. Assim temos os seguintes anagramas:
ABC
ACB
BAC
BCA
CAB
CBA

ou seja, 6 anagramas.

caso haja 1 A, 1 B e 2 C. Assim temos os seguintes anagramas:
ABCC
ACBC
ACCB
BACC
BCAC
BCCA
CABC
CBAC
CACB
CBCA
CCAB
CCBA

ou seja, 12 anagramas.

podemos entao generalizar para $\frac{(numerodeletras)!}{(numeroderepeticoes)!}$

$\frac{[1+1+(n-2)]!}{(n-2)!}=20 \Rightarrow \frac{n!}{(n-2)!}=20 \Rightarrow \frac{n*(n-1)*(n-2)!}{(n-2)!}=20 \Rightarrow {n}^{2}-n-20=0$

${n}_{1}=5$ e ${n}_{2}=-4$

como n-2 tem que ser positivo,

abraços.