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Questão prova concurso anal. combinatória

Questão prova concurso anal. combinatória

Mensagempor fernandocez » Sáb Mar 05, 2011 00:01

Oi pessoal fera em Matemática. Tô tentando resolver uma questão que acho ser Anál. comb.

34. O número de subconjunto de A = {1, 2, 3, 4} que contém ou elemento 2 ou o elemento 3 é:
resposta: 12

Eu não consegui chegar esse número, eu encontrei.
(2),(1,2),(2,4),(1,2,4)
(3),(1,3),(3,4),(1,3,4)
8 combinações. Faltou 4.
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Re: Questão prova concurso anal. combinatória

Mensagempor Renato_RJ » Sáb Mar 05, 2011 05:04

Boa noite Fernando....

Editei o meu post pois vi que eu tinha cometido um engano com a combinatória... Mas o problema não limita o número máximo de elementos de cada subconjunto ?

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Re: Questão prova concurso anal. combinatória

Mensagempor LuizAquino » Sáb Mar 05, 2011 10:07

Observação
Subconjuntos contendo o elemento 2 ou o elemento 3 significa que ele pode conter:
  • o elemento 2, mas não o elemento 3;
  • o elemento 3, mas não o elemento 2;
  • os elemento 2 e 3;

Por exemplo, no subconjunto {1, 2, 3} podemos afirmar que ele contém o elemento 2 ou o elemento 3.
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Re: Questão prova concurso anal. combinatória

Mensagempor Renato_RJ » Sáb Mar 05, 2011 15:35

Exatamente prof. Luiz... Eu fiz umas contas aqui e acabei achando mais de 12 subconjuntos, estaria certo isso ?? Pois fiz subconjuntos com 1, 2 e 3 elementos, aí dá mais de 12... Se eu fizer somente com 1 e 2 elementos, consigo os 12, veja:

S = (2), (1,2), (2,1), (2,3), (3,2), (2,4), (4,2), (3), (1,3), (3,1), (3,4), (4,3)

Mas se eu acrescentar os subconjuntos com 3 elementos, a contagem passa dos 12, essa linha de pensamento está certa ou estou errando em algum lugar ? Por exemplo, eu não posso considerar o caso (2,3) e (3,2) ? Eles deveriam ser considerados como repetição já que seus elementos são os mesmos mas em ordem diferente ?

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Re: Questão prova concurso anal. combinatória

Mensagempor LuizAquino » Sáb Mar 05, 2011 16:03

Os conjuntos A={1, 1, 1, 2, 2, 3, 3} e B={3, 2, 1, 2, 1, 1, 3} representam na verdade o mesmo conjunto C = {1, 2, 3}.

Além disso, vamos tomar cuidado com a notação!

Por convenção, A = (a_1,\, a_2,\, \ldots,\, a_n) é uma n-upla ordenada, isto é, um ponto em \mathbb{R}^n. Já A = \{a_1,\, a_2,\, \ldots,\, a_n\} é um conjunto com n elementos (obviamente, aqui estou considerando que cada elemento a_i é distinto dos outros para que o conjunto tenha n elementos).

Por exemplo, A=(1, 2) é um ponto no plano (que obviamente é distinto de B=(2, 1)), mas A={1, 2} é o conjunto formado pelos elementos 1 e 2 (que obviamente é igual ao conjunto B={2, 1}).
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Re: Questão prova concurso anal. combinatória

Mensagempor fernandocez » Sáb Mar 05, 2011 18:55

LuizAquino escreveu:Observação
Subconjuntos contendo o elemento 2 ou o elemento 3 significa que ele pode conter:
  • o elemento 2, mas não o elemento 3;
  • o elemento 3, mas não o elemento 2;
  • os elemento 2 e 3;

Por exemplo, no subconjunto {1, 2, 3} podemos afirmar que ele contém o elemento 2 ou o elemento 3.


Oi Luiz eu li o que vcs escreveram acima, mas continuo em dúvida. Então eu poderia acrescentar os subconjuntos (1,2,3), (2,3,4),(1,2,3,4)... Mas quando fala ou 2 ou 3, são os elemento número 2 e número 3? Ou é a quantidade de elementos no subconjuntos? Pensei que seria uma questão simples. Obrigado a força.
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Re: Questão prova concurso anal. combinatória

Mensagempor LuizAquino » Sáb Mar 05, 2011 19:19

fernandocez escreveu:Mas quando fala ou 2 ou 3, são os elemento número 2 e número 3? Ou é a quantidade de elementos no subconjuntos? Pensei que seria uma questão simples.

Como disse anteriormente, quando a questão diz que o subconjunto contém o elemento 2 ou o elemento 3, ela está querendo que o subconjunto formado possua o elemento 2 ou o elemento 3. Por exemplo, qualquer um dos subconjuntos a seguir atende esse requisito: {2}, {3}, {1, 2}, {3, 4}, {2, 3}, {1, 2, 3}, {1, 2, 3, 4}, etc.
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Re: Questão prova concurso anal. combinatória

Mensagempor fernandocez » Sáb Mar 05, 2011 20:55

Valeu Luiz e Renato. Agora entendi realmente forma 12 subconjuntos.

{2},{1,2},{2,4},{1,2,4}
{3},{1,3},{3,4},1,3,4}
{2,3},{1,2,3},{2,3,4},{1,2,3,4}
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(UNESP - 95) Seja L o Afixo de um Número complexo a=\sqrt{8}+ i em um sistema de coordenadas cartesianas xOy. Determine o número complexo b , de módulo igual a 1 , cujo afixo M pertence ao quarto quadrante e é tal que o ângulo LÔM é reto.


Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
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Seja \alpha o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo a. O triângulo é retângulo com catetos 1 e \sqrt{8}, tal que tg \alpha = \frac{1}{sqrt{8}}. Seja \theta o ângulo complementar. Então tg \theta = \sqrt{8}. Como \alpha + \theta = \frac{\pi}{2}, o ângulo que o afixo b formará com a horizontal será \theta, mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se b = x+yi, então \frac{y}{x} = \sqrt {8} \Rightarrow y = x\sqrt{8}. Como módulo é um: |b| = \sqrt { x^2 + y^2 } = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 8x^2 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{8}}{3}.

Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.