[Estimadores] Eficiência Estimadores

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[Estimadores] Eficiência Estimadores

Mensagempor temujin » Sáb Mai 25, 2013 13:50

Seja X \sim Normal(\mu;\sigma^2). Considere o problema de estimação de \mu a partir de uma amostra aleatória X1,...,Xn e considere os três estimadores abaixo:

M_1 = \frac{1}{n}.\sum_{i=1}^{n} X_i \\ \\ M2 = \frac{1}{n+1}.\sum_{i=1}^{n} X_i \\ \\ M3 = \frac{1}{2}X_1+\frac{1}{2n}.\sum_{i=2}^{n} X_i


Verdadeiro ou Falso:

( ) M2 e M3 são não-eficientes.

O gabarito diz que é Verdadeiro, mas...

Comparando as 3 variâncias:

Var(M1) = \frac{\sigma^2}{n} \\ \\ Var(M2) = Var\left(\frac{1}{n+1}.\sum_{i=1}^{n} X_i\right)=\frac{1}{(n+1)^2}.Var \left(\sum_{i=1}^{n} X_i \right)=\frac{n\sigma^2}{(n+1)^2} \\ \\ Var(M3) = Var \left( \frac{1}{2}X_1+\frac{1}{2n}.\sum_{i=2}^{n} X_i \right) =\frac{\sigma^2}{4}+\frac{(n-1)^2 \sigma^2}{4n^2}

E tomando n=1, Var(M1) = \sigma^2, \ Var(M2)=\frac{\sigma^2}{4}, \ Var(M3) = \frac{\sigma^2}{4}

Se M2 e M3 tem variância menor, eles são eficientes relativamente a M1. Não são ???
temujin
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(UNESP - 95) Seja L o Afixo de um Número complexo a=\sqrt{8}+ i em um sistema de coordenadas cartesianas xOy. Determine o número complexo b , de módulo igual a 1 , cujo afixo M pertence ao quarto quadrante e é tal que o ângulo LÔM é reto.

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Seja \alpha o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo a. O triângulo é retângulo com catetos 1 e \sqrt{8}, tal que tg \alpha = \frac{1}{sqrt{8}}. Seja \theta o ângulo complementar. Então tg \theta = \sqrt{8}. Como \alpha + \theta = \frac{\pi}{2}, o ângulo que o afixo b formará com a horizontal será \theta, mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se b = x+yi, então \frac{y}{x} = \sqrt {8} \Rightarrow y = x\sqrt{8}. Como módulo é um: |b| = \sqrt { x^2 + y^2 } = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 8x^2 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{8}}{3}.

Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.

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