definiçao basica

por **giboia90** » Dom Abr 07, 2013 21:17

calcular a média e a variância da variável X, onde X assume os valores 1, 2, 3, .........n equiprovavelmente.

respostas
média

$\frac{n+1}{2}$

variância

$\frac{{n}^{2}-1}{12}$

gostaria de saber como chegar as essas respostas?

por **e8group** » Dom Abr 07, 2013 22:06

Note que a média será $\bar{x} = \frac{1 }{n} \sum_{p=1}^n x_p$ .Mas ,sabemos que $\sum_{p=1}^n x_p = 1 + 2 + 3 + \hdots + n-2 + n-1 + n = \frac{n(n+1)}{2}$ .Desta forma ,

$\bar{x} = \frac{1 }{n} (1 + 2 + 3 + \hdots + n-2 + n-1 + n) = \frac{n+1}{2}$ .Em consequência , a variança que por definição é calculado por $S^2 = \frac{1}{n}\sum_{p=1}^n (x_p - \bar{x})^2$ será equivalente a $\frac{1}{n}\sum_{p=1}^n (p - \frac{n+1}{2})^2 = \frac{1}{4n}\sum_{p=1}^n (2p -n - 1)^2$ . Desenvolvendo a útlima expressão obtida ,segue

$\frac{1}{4n} \sum_{p=1}^n (2p -n - 1)^2 = \frac{1}{4n} \sum_{p=1}^n (4p^2 - 2p(n-1) +(n-1)^2 )$

$= (**) \frac{1}{4n} \left(4\sum_{p=1}^n p^2 - 2n(n+1)\sum_{p=1}^n p +n(n+1)^2 \right )$

Façamos algumas observações :

(1) Como já vimos $\sum_{p=1}^n x_p = 1 + 2 + 3 + \hdots + n-2 + n-1 + n = \frac{n(n+1)}{2}$ .

(2) Podemos provar por indução matemática que $\sum_{p=1}^n p^2 = \frac{1}{6} n (1+n) (1+2 n)$ .

Por (1) e (2) concluímos que a expressão indicada por (**)

poderá ser escrita como ,

$\frac{1}{4n}\left(4\cdot \frac{1}{6} n (1+n) (1+2 n) - n^2(n+1)^2 +n(n+1)^2 \right )$ .

Se não errei algum cálculo ,após simplificar obterá a resposta indicada pelo gabarito .

definiçao basica

definiçao basica

definiçao basica

Re: definiçao basica

Quem está online