Discussão de um sistema 3x3

por **Malorientado** » Qua Set 12, 2012 01:38

Em um sistema 3x3, o único parâmetro está no termo independente da equação da terceira linha. Como devo discutir esse sistema? Resolvendo-o?
Como se discute um sistema com mais incógnitas que equações?
Em um outro sistema, homogêneo, ao calcular o determinante dos coeficientes para discutir o parâmetro, o mesmo se anulou a acabei obtendo det=3. Como devo interpretar isso na discussão?

por **MarceloFantini** » Qua Set 12, 2012 08:17

Malorientado, por favor poste todo o enunciado.

por **Malorientado** » Qui Set 13, 2012 23:33

Perdõe-me, daqui pra frente vou sempre postar as questões. Eis o sistema para ser discutido:
x+y+z=3
x+2y+3z=6
2x+3y+4z=a
Entendi que parâmetros nos coeficientes pelo determinante é possível saber quando é SPD(se det diferente de 0), para SPI e SI, basta descobrir onde det =0 e substituir no sistema, escalonar e conforme última linha, avaliar valores para ambos. Está correto? E nesse caso onde o parâmetro está no termo independente? Como proceder? Outra coisa, nesse sistema:
x+2y+z=0
2x+y+#z=0
3x+3y+#z=0
# é um símbolo grego
Obtive det=3, sem o símbolo # no det. como devo interpretar isso na discussão? Mais uma coisa:(chato,eu sei) Como se discute um sistema com mais incógnitas que equações? Já assisti a vídeo-aulas e pesquisei na net, mas realmente estou embolado nessa parte... Mais uma vez obrigado pela ajuda.

por **MarceloFantini** » Sex Set 14, 2012 08:08

Se você calcular o determinante dos coeficientes verá que o resultado é zero. Por que? A resposta é: tome a primeira equação e some à segunda. Você terá exatamente a terceira equação, a menos do termo independente. Ou seja, o sistema não pode ser possível e determinado, resta descobrir se é impossível ou indeterminado. Se a=9

, que corresponde à soma das equações, então ele será indeterminado pois teremos mais equações do que incógnitas. Se $a \neq 9$ , então ele será impossível.

Geometricamente, tudo isto significa que temos três planos, onde um é combinação dos outros dois. O termo independente diz o quanto ele está "deslocado" em relação aos outros. Quando o termo independente for igual a a=9

teremos que ele não está deslocado e sim coincide com a combinação dos outros dois; se $a \neq 9$ então ele está deslocado e não há interseção com os outros dois planos, portanto o sistema é impossível.

No segundo sistema, como o determinado é não-nulo para qualquer valor de $\alpha$ (escolhi uma letra grega), isto significa que ele será possível e determinado, cuja única solução é zero independentemente de $\alpha$ .

Por último, quando você tem mais incógnitas do que equações isto significa que você tem poucas figuras geométricas se interseccionando, no caso de sistemas lineares você terá planos. Nestes casos você deve verificar se eles são paralelos (ou seja, se os coeficientes de um são múltiplos dos coeficientes do outro, por exemplo

$\begin{cases} x + y + z = 2, \\ 2x+2y+2z = 4, \end{cases}$

onde temos que a segunda é múltipla da segunda), e se forem descobrir se o termo independente for múltiplo também; caso não seja, os planos são paralelos e não coincidentes e portanto não há solução. Se não forem múltiplos, então com certeza há interseção e será uma reta.

por **Malorientado** » Sex Set 14, 2012 23:50

Pela definição que você me deu sobre discussão de sistemas com mais incógnitas que equações, o sistema:
v+3w-5x+3y-z=1
2v+6w+10x+6y-2z=3
4v+3w+15x-12z=4
É SI pois um dos termos independentes não é múltiplo dos outros? A solução de um SPI é dada por uma solução geral, substituindo-se a(s) incógnita livre(s) por um símbolo matemático e isolando cada incógnita no sistema, sendo os valores para esse símbolo pertencentes aos Reais? Todo sistema com mais incógnitas que equações só pode ser SPI e SI, correto?

por **MarceloFantini** » Sáb Set 15, 2012 07:39

Sim, exatamente: note que a segunda equação tem os coeficientes todos múltiplos da primeira, mas o termo independente não. A solução de um SPI é apenas escrever algumas incógnitas em função das outras, substituir por um símbolo é só para facilitar saber qual é (não sei como facilita, para mim introdução de mais variáveis do que necessário só piora). Por fim, sim, a solução só pode ser um SPI ou SI.