sistemas lineares

por **silvia fillet** » Qua Jun 13, 2012 11:23

Considere que três pessoas, Pedro, Carlos e João tem a seguinte relação entre seus salários:

i – Duas vezes o salário de Carlos, menos o salário de João, menos o salário de Pedro é igual a R$ 3000,00.
ii – A soma do salário das três pessoas é igual a R$ 6000,00.
iii – O salário de Pedro, mais duas vezes o salário de João, mais duas vezes o salário de Carlos é igual a R$ 11000,00.

a) Escreva o sistema de equações que representa a relação entre os salários de Pedro, Carlos e João.
b) Escreva a matriz ampliada (ou aumentada) do sistema de equações obtido no item anterior
c) Através do escalonamento da matriz ampliada, reescreva o sistema de equações na forma matricial de maneira que a matriz dos coeficientes esteja na forma triangular superior.
d) Com o resultado do item anterior, obtenha os salários de Pedro, Carlos e João

por **silvia fillet** » Qua Jun 13, 2012 11:27

Bom, comecei assim:
Pedro = x
Carlos = y
João = z

Sistema linear:

-x +2y -z = 3000
x +y +z =6000
x +2y +2z = 11000

matriz aumentada
-1 2 -1 3000
1 1 1 6000
1 2 2 11000

Seria isso para iniciar?

por **Cleyson007** » Qua Jun 13, 2012 12:22

Bom dia Silvia!

Isso mesmo :y:

Agora tente resolver o restante.

Quanto ao exercício d, utilize o sistema obtido na letra a para resolvê-lo ok?

Comente qualquer dúvida.

Até mais.

por **silvia fillet** » Qua Jun 13, 2012 13:19

Será que posso multiplicar por -1 a primeira equaçao, ficando assim:

1 -2 1 -3000
1 1 1 6000
1 2 2 11000

porque daí enrosquei?

por **silvia fillet** » Qua Jun 13, 2012 13:32

bom resolvi assim:

1 -2 1 -3000
1 1 1 6000
1 2 2 11000

dai fiz L2-L1 e L3 -L1

1 -2 1 -3000
0 3 0 9000
0 4 1 14000

dai o sistema

x -2y +z = -3000
0x +3y +0z = 9000
0x +4y +z = 14000

daí encontrei

y = 3000
z = 2000
x = 1000

seria isso?

por **Cleyson007** » Qua Jun 13, 2012 20:29

Boa noite Sílvia!

Sílvia, são muitas as formas para se resolver exercícios desse tipo..

Sua resposta está correta :y:

Bom, eu utilizaria o método da adição começando pelas duas primeira equações, pois eliminaria o "x" e o '"z" encontrando o valor de y.

Espero ter ajudado.

Até mais.

por **silvia fillet** » Qua Jun 13, 2012 22:19

Eu também acho mais fácil calcular pela adição e subtracção, só que o exercício pede escalonamento matricial

por **DanielFerreira** » Qui Jun 14, 2012 20:13

silvia fillet escreveu:Considere que três pessoas, Pedro, Carlos e João tem a seguinte relação entre seus salários:

i – Duas vezes o salário de Carlos, menos o salário de João, menos o salário de Pedro é igual a R$ 3000,00.
ii – A soma do salário das três pessoas é igual a R$ 6000,00.
iii – O salário de Pedro, mais duas vezes o salário de João, mais duas vezes o salário de Carlos é igual a R$ 11000,00.

a) Escreva o sistema de equações que representa a relação entre os salários de Pedro, Carlos e João.

$\begin{Bmatrix} - x + 2y - z = 3000 \\ x + y + z = 6000 \\ x + 2y + 2z = 11000 \end{matrix}$

por **DanielFerreira** » Qui Jun 14, 2012 20:15

silvia fillet escreveu:Considere que três pessoas, Pedro, Carlos e João tem a seguinte relação entre seus salários:

i – Duas vezes o salário de Carlos, menos o salário de João, menos o salário de Pedro é igual a R$ 3000,00.
ii – A soma do salário das três pessoas é igual a R$ 6000,00.
iii – O salário de Pedro, mais duas vezes o salário de João, mais duas vezes o salário de Carlos é igual a R$ 11000,00.

b) Escreva a matriz ampliada (ou aumentada) do sistema de equações obtido no item anterior

$\begin{pmatrix} - 1 & 2 & - 1 & | & 3000 \\ 1 & 1 & 1 & | & 6000 \\ 1 & 2 & 2 & | & 11000 \end{pmatrix}$

por **DanielFerreira** » Qui Jun 14, 2012 20:22

silvia fillet escreveu:c) Através do escalonamento da matriz ampliada, reescreva o sistema de equações na forma matricial de maneira que a matriz dos coeficientes esteja na forma triangular superior.

$\begin{pmatrix} - 1 & 2 & - 1 & | & 3000 \\ 1 & 1 & 1 & | & 6000 \\ 1 & 2 & 2 & | & 11000 \end{pmatrix}$

==> Fazendo L_1 + L_2

, fica:

$\begin{pmatrix} - 1 & 2 & - 1 & | & 3000 \\ 0 & 3 & 0 & | & 9000 \\ 1 & 2 & 2 & | & 11000 \end{pmatrix}$

==> Fazendo L_1 + L_3

, fica:

$\begin{pmatrix} - 1 & 2 & - 1 & | & 3000 \\ 0 & 3 & 0 & | & 9000 \\ 0 & 4 & 1 & | & 14000 \end{pmatrix}$

==> Fazendo 3.L_3 - 4.L_2

, fica:

$\begin{pmatrix} - 1 & 2 & - 1 & | & 3000 \\ 0 & 3 & 0 & | & 9000 \\ 0 & 0 & 3 & | & 6000 \end{pmatrix}$

por **DanielFerreira** » Qui Jun 14, 2012 20:24

silvia fillet escreveu:d) Com o resultado do item anterior, obtenha os salários de Pedro, Carlos e João

$\begin{pmatrix} - 1 & 2 & - 1 & | & 3000 \\ 0 & 3 & 0 & | & 9000 \\ 0 & 0 & 3 & | & 6000 \end{pmatrix}$

3z = 6000
z = R$ 2.000,00

3y = 9000
y = R$ 3.000,00

- x + 2y - z = 3000
x = 2y - z - 3000
x = 6000 - 2000 - 3000
x = R$ 1.000,00