Equação de segundo grau

por **maria cleide** » Seg Mai 09, 2011 23:46

Sendo a e b as raízes da equação x^2-8x+1=0

, qual o valor da expressão $\dfrac{1}{a^3}+\dfrac{1}{b^3}$ ?
Apliquei a fórmula de Bhaskara: $\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$\dfrac{8\pm\sqrt{64-4}}{2}$

$\dfrac{8\pm7,75}{2}$

$\dfrac{8+7,75}{2}=7,875$

$\dfrac{8-7,75}{2}=0,125$

Mas não consegui desenvolver isso.

por **MarceloFantini** » Ter Mai 10, 2011 00:30

Temos que

e

. Considere $\left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \right)^3 = \frac{1}{a^3} + \frac{3}{a^2b} + \frac{3}{ab^2} + \frac{1}{b^3} = \frac{(a+b)^3}{(ab)^3} = 512$ . Note que se ab=1

, então

e

. Então:

$3 \cdot \left( \frac{1}{a^2b} + \frac{1}{ab^2} \right) = 3 \cdot \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \right) = 3 \cdot \frac{a+b}{ab} = 24$ .

Finalizando: $\frac{1}{a^3} + \frac{1}{b^3} = 512 - 24 = 40$ .

P.S.: Fui mais rápido!

por **FilipeCaceres** » Ter Mai 10, 2011 00:31

Logo,

Então,
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a+b}{a.b}=\frac{8}{1}=8$

Sabendo que,
(x+y)^3=x^3+y^3+3xy(x+y)

Temos,
$\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)^3=\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+3.\frac{1}{a}.\frac{1}{b}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)$

$8^3=\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+3.1.8$

$\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}=8^3-3.8$

$\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}=512-24$

Portanto,
$\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}=488$

Ps.: E fez errado :-D