Expressão

por **maria cleide** » Dom Mai 08, 2011 16:47

Se $4^{16}\cdot5^{25}=\alpha \cdot10^N$ , com $100\le \alpha < 1000$ , então N é igual a quanto?

Como ele quer um resultado na base 10, primeiramente passei a expressão para base 10 e obtive:

$(4 \cdot10^0)^{16}\cdot(5\cdot10^0)^{25}$ mas não consegui desenvolver essa expressão.
outra forma que encontrei foi passar para base dois :
$(2^2)^{16} (2^2+2^0)^{25}$
$2^{32} (2^{50}+2^0)$
$2^{82}+2^{32}$
Agora acho que só falta passar para base 10, mas isso eu não sei.

por **Molina** » Dom Mai 08, 2011 18:01

Boa tarde, Maria.

Temos que:

$4^{16}\cdot5^{25}=\alpha \cdot10^N$

$(2^2)^{16}\cdot5^{25}=\alpha \cdot10^N$

$2^{32}\cdot5^{25}=\alpha \cdot10^N$

$2^{7} \cdot 2^{25}\cdot5^{25}=\alpha \cdot(2 \cdot 5)^N$

$2^{7} \cdot 2^{25}\cdot5^{25}=\alpha \cdot 2^N \cdot 5^N$

Pronto! note que $\alpha = 2^7 = 128$ que satisfaz o critério do enunciado. Portanto, N=25.

:y:

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