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Inequações modulares, dúvidas exerc. Leithold

Inequações modulares, dúvidas exerc. Leithold

Mensagempor victordhn » Seg Fev 14, 2011 19:12

Olá galera,
To com uma dúvida gigante de como resolver aqui dois itens sobre inequações modulares, são 2 exercicios do livro do Leithold, mas uma versão muito antiga, acho que nao tem resolução na internet.
Pois bem, lá vai

enunciado: resolva para x e use barras de valor absoluto para escrever a resposta

1) \frac{x-a}{x+a}>0
resposta: |x| > |a|

2) \frac{x-2}{x-4} >\frac{x+2}{x}
resposta: |x-2| > 2

Se alguem puder resolver com um tipo de passo a passo, eu ficaria bastante grato pois eu não consegui acompanhar o raciocinio de um amigo meu que resolveu aqui exercicios parecidos.

Att
Victor Dahan
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Re: Inequações modulares, dúvidas exerc. Leithold

Mensagempor LuizAquino » Ter Fev 15, 2011 02:10

1) \frac{x-a}{x+a}>0

Para que uma divisão dê como resultado um número positivo (ou seja, maior do que zero), precisamos ter os jogos de sinais (+):(+) ou (-):(-).

Para que (x-a) seja positivo, basta que x>a. Por outro lado, para que (x+a) seja positivo, basta que x>-a.

Agora, para que (x-a) seja negativo, basta que x<a. Por outro lado, para que (x+a) seja negativo, basta que x<-a.

Portanto, podemos resumir a solução em |x|>|a|.

Para enxergar que podemos fazer isso, basta você aplicar a definição de módulo 2 vezes em |x|>|a|:
  • x > |a|, se x positivo.
    • x > a, se a é positivo.
    • x > -a, se a é negativo.
  • x < -|a|, se x negativo.
    • x < -a, se a é positivo.
    • x < a, se a é negativo.


2) \frac{x-2}{x-4} >\frac{x+2}{x}

\frac{x-2}{x-4} - \frac{x+2}{x} > 0

\frac{x(x-2)-(x-4)(x+2)}{x(x-4)} > 0

\frac{8}{x(x-4)} > 0

Essa divisão só será positiva (portanto maior do que zero) se x(x-4) > 0. Isso vai ocorrer em x<0 ou x>4. Mas isso é o mesmo que dizer que |x-2|>2, pois pela definição de módulo teremos que:
  • x-2 > 2, se (x-2) é positivo. Disso obtemos x>4.
  • x-2 < -2, se (x-2) é negativo. Disso obtemos x<0.
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Re: Inequações modulares, dúvidas exerc. Leithold

Mensagempor victordhn » Ter Fev 15, 2011 17:21

Não estava tendo a sacada de usar a definição de modulo para chegar no resultado. Me ajudou muito.
Muito obrigado pela ajuda professor!
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Assunto: cálculo de limites
Autor: Hansegon - Seg Ago 25, 2008 11:29

Bom dia.

Preciso de ajuda na solução deste problema, pois só chego ao resultado de 0 sobre 0.
Obrigado

\lim_{x\rightarrow-1} x³ +1/x²-1[/tex]


Assunto: cálculo de limites
Autor: Molina - Seg Ago 25, 2008 13:25

\lim_{x\rightarrow-1} \frac{{x}^{3}+1}{{x}^{2}-1}

Realmente se você jogar o -1 na equação dá 0 sobre 0.
Indeterminações deste tipo você pode resolver por L'Hôpital
que utiliza derivada.
Outro modo é transformar o numerador e/ou denominador
para que não continue dando indeterminado.

Dica: dividir o numerador e o denominador por algum valor é uma forma que normalmente dá certo. :y:

Caso ainda não tenha dado uma :idea:, avisa que eu resolvo.

Bom estudo!


Assunto: cálculo de limites
Autor: Guill - Dom Abr 08, 2012 16:03

\lim_{x\rightarrow-1}\frac{x^3+1}{x^2-1}

\lim_{x\rightarrow-1}\frac{(x+1)(x^2-x+1)}{(x+1)(x-1)}

\lim_{x\rightarrow-1}\frac{(x^2-x+1)}{(x-1)}=\frac{-3}{2}