Faz sentido? Sistema e equações paramétricas.

por **Dan** » Ter Fev 01, 2011 14:39

Oi gente.

Eu resolvi o seguinte sistema de equações lineares:

${x}_{1} - 2{x}_{2} + {x}_{3} = 0$
$2{x}_{2} - 8{x}_{3} = 8$
$-4{x}_{1} + 5{x}_{2} + 9{x}_{3} = -9$

O sistema tem uma solução, que é (29, 16, 3).

Então eu pensei nessa solução como um ponto em R³, e em cada equação como uma reta em R³, que se encontram no ponto (29, 16, 3).

Daí o que eu fiz foi determinar um ponto qualquer para cada uma das equações, e obtive (2,1,0), (0,8,1) e (2,-2,1). Acredito que esteja na ordem da primeira à terceira equação.

Em seguida fiz a equação paramétrica de cada reta, obtendo primeiro o vetor (diminuindo o ponto qualquer de cada reta da solução do sistema) e em seguida montando cada equação:

${r}_{1}: (x,y,z) = (2,1,0) + t(27,15,3)$
${r}_{2}: (x,y,z) = (0,8,1) + t(29,8,2)$
${r}_{3}: (x,y,z) = (2,-2,1) + t(27,18,2)$

E por último joguei tudo no Winplot que fez o seguinte gráfico (clique na imagem para ampliar):

Eu girei e aproximei esse gráfico em todos os sentidos, e pelo gráfico eu fico seguro em afirmar que sim, as três retas se cruzam.

Agora, o que eu quero confirmar é se o procedimento e o raciocínio fazem sentido. Eu cheguei ao objetivo final que eu queria, que era ver as três retas se cruzando, mas em poucas palavras, equações lineares podem ser transformadas em equações paramétricas dessa forma? E o ponto onde elas se cruzam é realmente a solução do sistema

por **Dan** » Ter Fev 01, 2011 14:53

Era pra ter saído um ponto de interrogação por último "E o ponto onde elas se cruzam é realmente a solução do sistema?".

Desculpem o novo post, não estou conseguindo carregar o tópico e editar a mensagem.

por **LuizAquino** » Qua Fev 02, 2011 10:38

Sua interpretação está equivocada.

Um sistema linear de 3 equações e 3 incógnitas é visto geometricamente como o ponto de interseção entre três planos, e não entre três retas.

Lembre-se que uma equação do tipo ax+by+cz+d=0

representa um plano no $\mathbb{R}^3$ , e não uma reta.

O que você fez foi para cada plano determinar uma reta sobre ele que passa pelo ponto (29, 16, 3). Obviamente, por sua construção a interseção entre essas retas será esse ponto.

Aproveito ainda para dar uma sugestão. Que tal experimentar um programa livre para traçar seus gráficos? O endereço é:
http://www.geogebra.org

Se você quiser um curso ensinando a usar este programa, visite:
http://www.youtube.com/LCMAquino

por **Dan** » Qua Fev 02, 2011 11:25

Obrigado LuizAquino. Eu já uso o GeoGebra, mas dispensei ele nessa oportunidade porque ele ainda não traça gráficos em R³, certo?
Mas o seu canal é muito bom, parabéns. Com certeza vou usar seus vídeos quando eu tiver alguma dúvida de construção no GeoGebra.

Perfeito, de fato essas são equações de planos. Agora consegui pensar em uma maneira como eles três se cortam com um ponto em comum.

Obrigado novamente.

por **LuizAquino** » Qua Fev 02, 2011 11:37

Dan escreveu:Eu já uso o GeoGebra, mas dispensei ele nessa oportunidade porque ele ainda não traça gráficos em R³, certo?

Nativamente, ainda não. Mas, podemos construir um usando os conhecimentos de Geometria Analítica. Veja o vídeo:
20. Curso de GeoGebra - Objetos Tridimensionais
http://www.youtube.com/watch?v=FfCwo666dHA