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Sistemas Lineares

Sistemas Lineares

Mensagempor gustavowelp » Sáb Jun 26, 2010 17:05

Boa tarde a todos.

Não sei como resolver tal sistema linear:

Seja o seguinte sistema linear

x + y + z = 6
2x – y + z = 3
-x + 3y + 2z = 11

cujo conjunto solução é {(a,b,c)}, pode-se afirmar que:

a) a + b - c = 0
b) c = a - b
c) a + b + c = 0
d) 2a + b = c
e) a = b e c = 0

Fiz até um pedaço e encontrei z = 2, eliminando o y nas duas primeiras equações (somando as duas equações) e eliminando o x na primeira e terceira equações

Mas depois me confundi todo.

Obrigado!!!
gustavowelp
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Re: Sistemas Lineares

Mensagempor Douglasm » Sáb Jun 26, 2010 20:02

Olá gustavowelp. Eu gosto de resolver esse tipo de questão, montando uma matriz e a escalonando usando o algoritmo de Gauss (apesar de muitos não gostarem de fazer assim). Deste modo, eu vou postar aqui o link para o artigo explicando o algoritmo e postarei a sequência do escalonamento.

LINK: http://rpanta.com/downloads/material/Gauss_01.PDF

Agora vamos a sequência, lembrando que temos que operar com a matriz completa:

\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 2 & -1 & 1 & 3 \\ -1 & 3 & 2 & 11 \end{vmatrix} \rightarrow \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & -3 & -1 & -9 \\ 0 & 4 & 3 & 17 \end{vmatrix} \rightarrow \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & -3 & -1 & -9 \\ 0 & 0 & \frac{5}{3} & 5 \end{vmatrix}

O sistema escalonado é:

x + y + z = 6

-3y -z = -9

\frac{5}{3}z = 5

Chegamos a:

x=1\;;\;y=2\;;\;z=3

E portanto a resposta é letra a.
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Re: Sistemas Lineares

Mensagempor gustavowelp » Dom Jun 27, 2010 08:40

Bom dia Douglas.

Muito obrigado pelo teu empenho em me ajudar.

Entretanto, esse caro amigo Gauss sabe muito... eheheheh

Eu sou um tanto leigo, e achei complicado (vi o PDF que mandaste)

Vou te perguntar se a solução que aprendi na escola pode ser utilizada:

São essas três equações:
x + y + z = 6
2x – y + z = 3
-x + 3y + 2z = 11

Olhando por cima, vemos que se SOMARMOS a primeira e a terceira, "matamos" o X
Se SOMARMOS a primeira com a segunda, "matamos" o Y

Nesse caso, tenho a variávez Z nas duas equações SOMADAS, uma com y e outra com x. Isolando X e Y, tenho uma equação que determina Z

Aí substituí o X e o Y na primeira equação pelas equações que obtive com as SOMAS.

Ficou assim:

y = (17 - 3z) / 4.
x = (9 - 2z) / 3.


Substituindo em x + y + z = 6, ficou:

(9 - 2z) / 3 + (17 - 3z) / 4 + z = 6. Encontrei z = 3

Depois substituo o "z" que encontrei nas equações resultantes da soma (que eliminaram uma das variáveis - aquelas em negrito logo acima)

Exemplo:
y = (17 - 3z) / 4 => y = (17 - 3.3) / 4 => y = 2
x = (9 - 2z) / 3 => x = (9 - 2.3) / 3 => x = 1

Pode ser assim?

Obrigado novamente.
gustavowelp
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Re: Sistemas Lineares

Mensagempor Douglasm » Dom Jun 27, 2010 09:09

Sem dúvida que pode! Eu só fiz daquele outro jeito por achar mais eficiente (para sistemas maiores, por exemplo, escalonar através de manipulações algébricas pode ser muito trabalhoso e desnecessariamente complicado). Mas esse modo que usaste é o mais tradicional. =)
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.


Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s


Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}