Sistemas Lineares

por **gustavowelp** » Sáb Jun 26, 2010 17:05

Boa tarde a todos.

Não sei como resolver tal sistema linear:

Seja o seguinte sistema linear

x + y + z = 6
2x – y + z = 3
-x + 3y + 2z = 11

cujo conjunto solução é {(a,b,c)}, pode-se afirmar que:

a) a + b - c = 0
b) c = a - b
c) a + b + c = 0
d) 2a + b = c
e) a = b e c = 0

Fiz até um pedaço e encontrei z = 2, eliminando o y nas duas primeiras equações (somando as duas equações) e eliminando o x na primeira e terceira equações

Mas depois me confundi todo.

Obrigado!!!

por **Douglasm** » Sáb Jun 26, 2010 20:02

Olá gustavowelp. Eu gosto de resolver esse tipo de questão, montando uma matriz e a escalonando usando o algoritmo de Gauss (apesar de muitos não gostarem de fazer assim). Deste modo, eu vou postar aqui o link para o artigo explicando o algoritmo e postarei a sequência do escalonamento.

LINK: http://rpanta.com/downloads/material/Gauss_01.PDF

Agora vamos a sequência, lembrando que temos que operar com a matriz completa:

$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 2 & -1 & 1 & 3 \\ -1 & 3 & 2 & 11 \end{vmatrix} \rightarrow \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & -3 & -1 & -9 \\ 0 & 4 & 3 & 17 \end{vmatrix} \rightarrow \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & -3 & -1 & -9 \\ 0 & 0 & \frac{5}{3} & 5 \end{vmatrix}$

O sistema escalonado é:

x + y + z = 6

$\frac{5}{3}z = 5$

Chegamos a:

$x=1\;;\;y=2\;;\;z=3$

E portanto a resposta é letra a.

por **gustavowelp** » Dom Jun 27, 2010 08:40

Bom dia Douglas.

Muito obrigado pelo teu empenho em me ajudar.

Entretanto, esse caro amigo Gauss sabe muito... eheheheh

Eu sou um tanto leigo, e achei complicado (vi o PDF que mandaste)

Vou te perguntar se a solução que aprendi na escola pode ser utilizada:

São essas três equações:
x + y + z = 6
2x – y + z = 3
-x + 3y + 2z = 11

Olhando por cima, vemos que se SOMARMOS a primeira e a terceira, "matamos" o X
Se SOMARMOS a primeira com a segunda, "matamos" o Y

Nesse caso, tenho a variávez Z nas duas equações SOMADAS, uma com y e outra com x. Isolando X e Y, tenho uma equação que determina Z

Aí substituí o X e o Y na primeira equação pelas equações que obtive com as SOMAS.

Ficou assim:

y = (17 - 3z) / 4.
x = (9 - 2z) / 3.

Substituindo em x + y + z = 6, ficou:

(9 - 2z) / 3 + (17 - 3z) / 4 + z = 6. Encontrei z = 3

Depois substituo o "z" que encontrei nas equações resultantes da soma (que eliminaram uma das variáveis - aquelas em negrito logo acima)

Exemplo:
y = (17 - 3z) / 4 => y = (17 - 3.3) / 4 => y = 2
x = (9 - 2z) / 3 => x = (9 - 2.3) / 3 => x = 1

Pode ser assim?

Obrigado novamente.

por **Douglasm** » Dom Jun 27, 2010 09:09

Sem dúvida que pode! Eu só fiz daquele outro jeito por achar mais eficiente (para sistemas maiores, por exemplo, escalonar através de manipulações algébricas pode ser muito trabalhoso e desnecessariamente complicado). Mas esse modo que usaste é o mais tradicional. =)

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