Inequação com Logaritmos

por **Questioner** » Dom Mai 16, 2010 17:41

Olá,

Vejam o seguinte problema:

Seja n um número natural. Se ${3}^{n} < {2}^{100} < {3}^{(n+1)}$ , então quanto vale n?
Use $\log_{3}{2}= 0,631$

Fiz uma mudança de base e achei a relação:
$\frac{\log_{10}{2} }{\log_{10}{3} } = 0,631$

Dividi toda a desigualdade por {2}^{100}. Substituí com a relação que achei acima, mas cheguei apenas a uma relação lógica de que n < n + 1 ou - 63,1 < - 62,1.

Como chegar em n?

por **Douglasm** » Dom Mai 16, 2010 18:29

Olá Questioner. Façamos por partes:

1ª condição:

$2^{100} > 3^n \: \therefore \: log_32^{100} > log_33^n \: \therefore \: 100 . (0,631) > n \: \therefore \: n < 63,1$

2ª condição:

$2^{100} < 3^{n+1} \: \therefore \: log_32^{100} < log_33^{n+1} \: \therefore \: 100 . (0,631) < n + 1 \: \therefore \: n > 62,1$

Unindo ambas as condições:

62,1 < n < 63,1

Até a próxima.

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