Sistema linear

por **gabrielp18** » Qua Dez 16, 2015 17:22

Boa tarde galera! Enrosquei em um sisteminha...

Seja o sistema
x + y + z= 0
-x + (sen $\theta$ )y + 2z =0 No enunciado essa equação veio sem igualdade, por isso considerei sendo =0
x + ( ${sen}^{2}$ $\theta$ )y + 4z = 0

sendo $\theta$ um número real no intervalo [0,2 $\pi$ ].

a) Determine $\theta$ para que o sistema tenha infinitas soluções
b) Para o valor de $\theta$ encontrado no item a, resolva o sistema.
Resposta: a) 3 $\pi$ /2 b)S={(- $\alpha$ , $\alpha$ , 0), $\forall$ $\alpha$ }.

Eu cheguei em dois resultado para o sen: -2 e 3.

Obg!
Obs: me desculpem, mas não consegui colocar a fórmula no LaTeX, sempre dava algum erro...

por **DanielFerreira** » Seg Fev 08, 2016 17:46

Talvez tenha sido dito no enunciado que o sistema é homogêneo!

Por Cramer, sabemos que a equação será indeterminada se $\Delta = 0$ , uma vez que $\Delta_x = \Delta_y = \Delta_z = 0$ (sistema homogêneo).

Segue,

$\\ \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & \sin \theta \, y & 2 \\ 1 & \sin^2 \theta \, y & 4 \end{vmatrix} = 0 \\\\ 4 \cdot \sin \theta + 2 - \sin^2 \theta - \sin \theta - 2 \cdot \sin^2 \theta + 4 = 0 \\\\ 3 \cdot \sin^2 \theta - 3 \cdot \sin \theta - 6 = 0 \;\; \div (3 \\\\ \sin^2 \theta - \sin \theta - 2 = 0 \\\\ (\sin \theta - 2)(\sin \theta + 1) = 0 \\\\ \sin \theta = - 1 \\\\ \theta = \sin^{- 1} - 1 \\\\ \boxed{\theta = \frac{3\pi}{2}}$

Obs.: não devemos considerar $\sin \theta = 2$ pois $- 1 \leq \sin \theta \leq 1$ .

Concluímos o item b resolvendo o sistema $\begin{cases} x + y + z = 0 \\ - x - y + 2z = 0 \\ x + y + 4z = 0 \end{cases}$ .

Somando as duas equações iniciais,

$\\ 3z = 0 \\ \boxed{z = 0}$ .

Substituindo-o nas equações ficamos com o seguinte sistema: $\begin{cases} x + y = 0 \\ - x - y = 0 \\ x + y = 0 \end{cases}$ . Como podemos notar, as três equação são proporcionais; com efeito,

$\\ x + y = 0 \\ x = - y$

Fazendo $y = \alpha$ , concluímos que $\boxed{\boxed{(x, y, z) = (- \alpha, \alpha, 0)}}$ !!

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