[Sistema equações] questão de concurso 2011

por **fernandocez** » Qua Out 05, 2011 22:32

Eu acho que poderia resolver por sistema de equações Mas não consegui. Vamos a questão:

54) Sobre os números reais a e b sabe-se que a + b = 6 e que $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{3}{2}$ . O valor de a² + b² é:
a) 18 b) 22 c) 28 d) 36 e) 48
Eu tentei assim:

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{3}{2}$
a+b=6
a = 6-b

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{3}{2}$ Igualei os denominadores
2b + 2a = 3ab Substitui o "a" por 6-b
2b + 2(6-b) = 3b(6-b)
-3b²+18b = 12
-b²+6b = 4
-b²+6b-4=0

O caminho é esse? OU fiz tudo errado. Agradeço quem puder ajudar.

por **Neperiano** » Qui Out 06, 2011 15:04

Ola

A princípio esta correto

Atenciosamente

por **fernandocez** » Qui Out 06, 2011 21:45

Neperiano escreveu:Ola

A princípio esta correto

Atenciosamente

Caro amigo, resolvi a equação e os valores para "a" e "b" não solucionaram o problema, encontrei números decimais que acredito estarem errados.
a = 0,75 ?
b = (nem tentei!)

por **Henriqueitu** » Sex Out 07, 2011 12:38

O desenvolvimento do sistema esta correto, porem acredito que exista algum erro na resolucao do seu polinomio. Cheguei a resposta C.

por **fernandocez** » Sex Out 07, 2011 13:01

Henriqueitu escreveu:O desenvolvimento do sistema esta correto, porem acredito que exista algum erro na resolucao do seu polinomio. Cheguei a resposta C.

Caro Henrique, vc fez do mesmo jeito que eu fiz? Ou tem outro método? A resposta tá certa, letra C = 28. Obrigado pela ajuda.

por **Henriqueitu** » Sex Out 07, 2011 13:10

O mesmo metodo. Resolva novamente seu polinomio, deve ter algum erro.

por **fernandocez** » Sáb Out 08, 2011 00:30

Henriqueitu escreveu:O mesmo metodo. Resolva novamente seu polinomio, deve ter algum erro.

Oi Henrique, eu fiquei confuso com os resultados por isso achei que não tava certo.

a' = 5,25
a" = 0,75
ou
b' = 5,25
b" = 0,75

a² = 27,5
b² = 0,5
ou
a² = 0,5
b² = 27,5
a+b = 6 e a² + b² = 28

Valeu a ajuda.

por **Renato_RJ** » Sáb Out 08, 2011 13:31

Boa tarde amigos...

Eu fiz assim, como a + b = 6

então:

$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{3}{2} \Rightarrow \frac{b+a}{ab} = \frac{3}{2} \Rightarrow 12 = 3ab \Rightarrow ab = 4$

Até aí, tudo bem, todos devem ter pensando nisso, mas olhem o "pulo do gato":

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = a^2 + b^2 + 2ab

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = a^2 + b^2 + 2ab

Mas

e ab = 4, substituindo na equação acima, temos:

$a^2 + b^2 + 2 \cdot 4 = 36 \Rightarrow a^2 + b^2 = 36 - 8 \Rightarrow a^2 + b^2 = 28$

Espero ter ajudado.

[ ]'s
Renato.

por **Henriqueitu** » Sáb Out 08, 2011 14:59

Otimo. Não havia pensado dessa forma. Muito bom.

por **fernandocez** » Sáb Out 08, 2011 15:33

Renato_RJ escreveu:Boa tarde amigos...

Eu fiz assim, como então:

$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{3}{2} \Rightarrow \frac{b+a}{ab} = \frac{3}{2} \Rightarrow 12 = 3ab \Rightarrow ab = 4$

Até aí, tudo bem, todos devem ter pensando nisso, mas olhem o "pulo do gato":

Mas e ab = 4, substituindo na equação acima, temos:

$a^2 + b^2 + 2 \cdot 4 = 36 \Rightarrow a^2 + b^2 = 36 - 8 \Rightarrow a^2 + b^2 = 28$

Espero ter ajudado.

[ ]'s
Renato.