[Sistemas Lineares] Precisão do Método de Gauss-Seidel

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[Sistemas Lineares] Precisão do Método de Gauss-Seidel

Mensagempor VFernandes » Qui Out 06, 2011 13:50

Caros amigos, primeiramente peço desculpas se o assunto foge um pouco do tema, mas foi a seção mais adequada que encontrei.
Tenho o seguinte problema em minhas mãos:
\begin{pmatrix} 4 & -1 & 0 \\ -2 & 3 & -1 \\ -1 & -3 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} {x}_{1}} \\ {x}_{2}} \\ {x}_{3}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}
Calcule uma iteração por Gauss-Seidel, partindo de = (0,0,0) e estime quantas iterações são necessárias para que se atinja a precisão \epsilon = 0.0001
Bom, vamos lá:

{{x}_{1}}^{1} = \frac{1}{4}(2-(-1)\times0-0\times0)) = 0,5
{{x}_{2}}^{1} = \frac{1}{3}(0-(-2)\times0,5-(-1)\times0)) = 0,33
{{x}_{3}}^{1} = \frac{1}{5}(1-(-1)\times0,5-(-3)\times0,33)) = 0,5

\beta_1 = \frac{1}{4}(1+0) = 0,25
\beta_ = \frac{1}{3}(2\times0,25+1) = 0,5
\beta_3 = \frac{1}{5}(2\times0,25+3\times0,5) = 0,4 portanto,
M = 0.5 (maior dos betas)
Até aqui, sem problemas, a questão vem agora:
Sabemos que:
|x^*-x^k|\leq M^k max|x^*-x^0| portanto,
0.0001\leq 0,5^k |x^*-0|
o que não nos ajuda em muito, pois não sabemos x* (valor exato de x)
Alguma alma caridosa saberia como lidar com isso? Será que temos que delimitar um intervalo onde está contida a solução do sistema?
VFernandes
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(UNESP - 95) Seja L o Afixo de um Número complexo a=\sqrt{8}+ i em um sistema de coordenadas cartesianas xOy. Determine o número complexo b , de módulo igual a 1 , cujo afixo M pertence ao quarto quadrante e é tal que o ângulo LÔM é reto.

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Seja \alpha o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo a. O triângulo é retângulo com catetos 1 e \sqrt{8}, tal que tg \alpha = \frac{1}{sqrt{8}}. Seja \theta o ângulo complementar. Então tg \theta = \sqrt{8}. Como \alpha + \theta = \frac{\pi}{2}, o ângulo que o afixo b formará com a horizontal será \theta, mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se b = x+yi, então \frac{y}{x} = \sqrt {8} \Rightarrow y = x\sqrt{8}. Como módulo é um: |b| = \sqrt { x^2 + y^2 } = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 8x^2 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{8}}{3}.

Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.

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