[Matrizes] Dúvida .

por **e8group** » Seg Out 22, 2012 23:06

Mostre que tr(AB) = tr(BA) .

Solução :

Pensei em desenvolver o lado esquerdo e chagar no lado direito ,mas primeiro pensei em modo algébrico de obter a diagonal principal . Então segue os passos .

Passo 1 :

$[AB]_{jj} = \sum_{k=1}^{n} a_{jk}b_{kj} .$

Passo 2:

$tr(AB) = \sum_{p=1}^{n} [AB]_{pp} = \sum_{p=1}^{n} \sum_{k=1}^{n}\left[ a_{jk}b_{kj}\right]_{pp} =$

$\sum_{k=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \left[ a_{jk}b_{kj}\right]_{jj} =$

$\sum_{j=1}^{n} \sum_{k=1}^{n}[b_{kj}a_{jk}]_{kk} =$ .

$\sum_{j=1}^{n} \sum_{k=1}^{n} [b_{jk}a_{kj}]_{jj} =$

$\sum_{p=1}^{n}[BA]_{pp} = tr(BA).$ .

Estar certa a resolução , se sim ! Vale como demonstração ?