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Resolução correta?

Resolução correta?

Mensagempor Malorientado » Sáb Set 08, 2012 14:37

Uma matriz A é de ordem 2, inversível, e A²=2A. Det A=?
Fiz det (2A)= det A * 2²= 4det A
Então 4det A= det A * det A
Passando det A pro outro lado 4= detA, está correto? Em uma resolução que vi na net encontrei: 2².det(A) = det(A).det(A)
4.det(A) – [det(A)]2 = 0
Não entendi por que det(A) . det(A) virou [det(A)]2
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Re: Resolução correta?

Mensagempor MarceloFantini » Sáb Set 08, 2012 15:36

Porque determinante é um número, daí \det A \cdot \det A = (\det A)^2. Não sei o que você quer dizer com passar para o outro lado, mas sua solução está parcialmente correto. Se este "passar" for dividir, você está excluindo o caso em que \det A =0, que certamente satisfaz a equação.
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Re: Resolução correta?

Mensagempor Malorientado » Sáb Set 08, 2012 16:38

Hum esse 2 em [det(A)]2 é expoente, não tinha visto assim. Está realmente desse jeito onde peguei a resposta. Do modo que calculei, cheguei a somente 4 mas agora que você falou vejo que 0 também é solução. Como eu deveria resolver esse exercício pra achar todas as respostas possíveis? Perdoe mas estou tendo dificuldades nessa matéria.
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Re: Resolução correta?

Mensagempor MarceloFantini » Sáb Set 08, 2012 16:44

Deveria resolver assim: você encontrou que (\det A)^2 = 4 \det A, daí (\det A)^2 - 4 \det A = 0. Ponha \det A em evidência e temos \det A(\det A -4)=0. Um produto nos números reais é zero quando pelo menos um dos seus fatores é zero, então \det A =0 ou \det A - 4=0 e \det A = 4. São as duas possibilidades.
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Re: Resolução correta?

Mensagempor vmo_apora » Dom Set 09, 2012 13:23

Uma outra solução poderia ser:

Seja $\begin{array}{clcr}
{\bf A}=\left[\begin{array}{clcr}
a & b \\
c & d  
\end{array}\right]
\end{array}$ então {A}^{2}=
$\begin{array}{clcr}
{\bf}\left[\begin{array}{clcr}
{a}^{2} & ab + bd \\
ac + dc & bc +{d}^{2}  
\end{array}\right]
\end{array}$, temos também que 2A={A}^{2}. Desta forma $\begin{array}{clcr}
\left[\begin{array}{clcr}
2a & 2b \\
2c & 2d  
\end{array}\right]
\end{array}$
=
$\begin{array}{clcr}
{\bf}\left[\begin{array}{clcr}
{a}^{2} & ab + bd \\
ac + dc & bc +{d}^{2}  
\end{array}\right]
\end{array}$, daí vem 2b=ab+bd=b(a+d) \Rightarrow{2=a+d}\Rightarrow{d=2-a}    ~~~  {(1)} e que 2a={a}^{2}+bc \Rightarrow{bc=2a-{a}^{2}~~~(2)
Sabe-se também que $\begin{array}{clcr}
{\bf detA}=\left[\begin{array}{clcr}
a & b \\
c & d  
\end{array}\right]
\end{array}$
=
ad-bc~~~(3), substituindo (1)~e~(2)~em~(3), obtemos:
\\detA=a(2-a)-(2a-{a}^{2})
\\detA= 2a-{a}^{2}-2a+{a}^{2}
\\detA=0
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Re: Resolução correta?

Mensagempor MarceloFantini » Dom Set 09, 2012 15:06

E o caso em que \det A = 4?
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Re: Resolução correta?

Mensagempor vmo_apora » Dom Set 09, 2012 16:23

Na verdade, a única resposta válida é detA=4, pois, por hipótese, a matriz A é inversível, logo detA\neq0.
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.


Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s


Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}