Matriz

por **Claudin** » Qui Fev 09, 2012 18:57

Considerando a matriz

0 3 5
2 -5 4
1 2 1

Para encontrar a inversa, pelo modo que eu quero deve-se fazer o seguinte
Fazer a matriz aumentada com a identidade
e ir escalonando. Correto? Se for invertível a matriz inversa após o escalonamento se formará na direita e na esquerda seria a Identidade.

Porém pelo método de Gauss Jordan, como iniciarei o escalonamento sendo que a¹¹ = 0 ?
Não tem como passar ele para 1, para que comece o escalonamento.
E ai oq eu faço?

por **MarceloFantini** » Qui Fev 09, 2012 20:12

Se você somar a terceira linha a menos a primeira você terá $a_{11} = 1$ .

por **Claudin** » Sex Fev 10, 2012 10:36

Cheguei em um resultado muito estranho, está errado, vou refazer, se alguém postar o início do desenvolvimento já ajuda.

por **LuizAquino** » Sex Fev 10, 2012 11:29

Claudin escreveu:Considerando a matriz

0 3 5
2 -5 4
1 2 1

Para encontrar a inversa, pelo modo que eu quero deve-se fazer o seguinte
Fazer a matriz aumentada com a identidade
e ir escalonando. Correto? Se for invertível a matriz inversa após o escalonamento se formará na direita e na esquerda seria a Identidade.

Porém pelo método de Gauss Jordan, como iniciarei o escalonamento sendo que a¹¹ = 0 ?
Não tem como passar ele para 1, para que comece o escalonamento.
E ai oq eu faço?

Claudin escreveu:Cheguei em um resultado muito estranho, está errado, vou refazer, se alguém postar o início do desenvolvimento já ajuda.

Comece fazendo a operação $L_1 \leftarrow L_1 + L_3$ :

$\left[\begin{array}{ccc|ccc} 0 & 3 & 5 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -5 & 4 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right] \sim \left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 5 & 6 & 1 & 0 & 1 \\ 2 & -5 & 4 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]$

por **Claudin** » Sex Fev 10, 2012 19:33

A inversa seria?

5 4 35
-2 -3 -14
1 2 6

por **MarceloFantini** » Sex Fev 10, 2012 21:25

Tente multiplicar pela matriz original e veja se o resultado é a identidade.

por **LuizAquino** » Sáb Fev 11, 2012 02:41

Claudin escreveu:A inversa seria?

5 4 35
-2 -3 -14
1 2 6

Como você já deve saber (e bem lembrou o colega MarceloFantini), ao multiplicar essa matriz pela original o resultado deve ser a identidade, caso essa matriz seja de fato a inversa da original.

Após fazer essa multiplicação, você perceberá que não é o caso.

A inversa correta é:

$\frac{1}{51}\begin{bmatrix} -13 & 7 & 37 \\ 2 & -5 & 10 \\ 9 & 3 & -6 \end{bmatrix}$

Observação
É interessante que você comece a usar um sistema computacional algébrico. Um sistema como esse será muito útil em seus estudos. Particularmente, eu recomendo o SAGE.

Vale também ressaltar que você pode calcular a inversa de uma matriz usando o sistema online WolframAlpha. Basta executar no campo de entrada do sistema o comando:

Código: Selecionar todos: {{0, 3, 5}, {2, -5, 4}, {1, 2, 1}}^(-1)

por **Claudin** » Seg Fev 13, 2012 11:30

Já conheço o programa sim.

Mas na hora da prova eu não terei esse programa, por isso gostaria de ver o desenvolvimento
para ajudar a entender.

Foi o que eu sempre tentei mostrar isso aqui no Fórum.

Continuo sem compreender como resolver

por **Claudin** » Seg Fev 13, 2012 13:55

Não intendi esse termo que multiplica a sua inversa no caso acima?

Achei alguns erros e fiz novamente,
O que eu encontrei foi o seguinte:

$\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & \frac{67}{3} & \frac{56}{3} & -9 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{34}{3} & \frac{11}{3} & \frac{-20}{3} \\ 0 & 0 & 1 & 3 & 1 & -2 \end{array}\right] \sim \left$

por **LuizAquino** » Seg Fev 13, 2012 14:43

Claudin escreveu:Já conheço o programa sim.

Ok.

Claudin escreveu:Mas na hora da prova eu não terei esse programa (...)

Isso é verdade. Mas enquanto você estiver estudando, pode utilizar o programa para conferir a sua resposta.

Em uma de suas mensagens, você perguntou:

Claudin escreveu:A inversa seria?

5 4 35
-2 -3 -14
1 2 6

Note que você poderia utilizar o programa para conferir isso. Ou ainda, você mesmo poderia conferir manualmente a sua resposta fazendo a seguinte multiplicação:

$\begin{bmatrix} 0 & 3 & 5 \\ 2 & -5 & 4 \\ 1 & 2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 & 4 & 35 \\ -2 & -3 & -14 \\ 1 & 2 & 6 \end{bmatrix}$

Se essa multiplicação resultar na matriz identidade, então a inversa foi calculada corretamente. Caso contrário, algum erro foi cometido.

Vale lembrar que na hora da prova você também não terá a sua disposição esse fórum para pedir ajuda. É recomendado que você aprenda a conferir a sua resposta manualmente.

Claudin escreveu:(...) por isso gostaria de ver o desenvolvimento para ajudar a entender.

Foi o que eu sempre tentei mostrar isso aqui no Fórum.

Continuo sem compreender como resolver

Na sua primeira mensagem, você perguntou:

Claudin escreveu:Porém pelo método de Gauss Jordan, como iniciarei o escalonamento sendo que a¹¹ = 0 ?
Não tem como passar ele para 1, para que comece o escalonamento.
E ai oq eu faço?

Em seguida, você comentou:

Claudin escreveu:Cheguei em um resultado muito estranho, está errado, vou refazer, se alguém postar o início do desenvolvimento já ajuda.

Depois disso, eu mostrei para você o início assim como você pediu:

Comece fazendo a operação $L_1 \leftarrow L_1 + L_3$ :

$\left[\begin{array}{ccc|ccc} 0 & 3 & 5 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -5 & 4 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right] \sim \left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 5 & 6 & 1 & 0 & 1 \\ 2 & -5 & 4 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]$

Entretanto, você ainda continua com dúvidas. Eu vou então continuar os passos.

2º Passo)
$L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1$
$L_3 \leftarrow L_3 - L_1$

$\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 5 & 6 & 1 & 0 & 1 \\ 2 & -5 & 4 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right] \sim \left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 5 & 6 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & -15 & -8 & -2 & 1 & -2 \\ 0 & -3 & -5 & -1 & 0 & 0 \end{array}\right]$

3º Passo)
$L_2 \leftarrow -\frac{1}{15}L_2$

$\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 5 & 6 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & -15 & -8 & -2 & 1 & -2 \\ 0 & -3 & -5 & -1 & 0 & 0 \end{array}\right] \sim \left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 5 & 6 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & \frac{8}{15} & \frac{2}{15} & -\frac{1}{15} & \frac{2}{15} \\ 0 & -3 & -5 & -1 & 0 & 0 \end{array}\right]$

4º Passo)
$L_3 \leftarrow L_3 + 3L_2$

$\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 5 & 6 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & \frac{8}{15} & \frac{2}{15} & -\frac{1}{15} & \frac{2}{15} \\ 0 & -3 & -5 & -1 & 0 & 0 \end{array}\right] \sim \left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 5 & 6 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & \frac{8}{15} & \frac{2}{15} & -\frac{1}{15} & \frac{2}{15} \\ 0 & 0 & -\frac{17}{5} & -\frac{3}{5} & -\frac{1}{5} & \frac{2}{5}\end{array}\right]$

5º Passo)
$L_3 \leftarrow - \frac{5}{17} L_3$

$\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 5 & 6 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & \frac{8}{15} & \frac{2}{15} & -\frac{1}{15} & \frac{2}{15} \\ 0 & 0 & -\frac{17}{5} & -\frac{3}{5} & -\frac{1}{5} & \frac{2}{5}\end{array}\right] \sim \left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 5 & 6 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & \frac{8}{15} & \frac{2}{15} & -\frac{1}{15} & \frac{2}{15} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{3}{17} & \frac{1}{17} & -\frac{2}{17}\end{array}\right]$

6º Passo)
$L_1 \leftarrow L1 - 6 L_3$
$L_2 \leftarrow L2 - \frac{8}{15} L_3$

$\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 5 & 6 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & \frac{8}{15} & \frac{2}{15} & -\frac{1}{15} & \frac{2}{15} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{3}{17} & \frac{1}{17} & -\frac{2}{17}\end{array}\right] \sim \left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 5 & 0 & -\frac{1}{17} & -\frac{6}{17} & \frac{29}{17} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{2}{51} & -\frac{5}{51} & \frac{10}{51} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{3}{17} & \frac{1}{17} & -\frac{2}{17}\end{array}\right]$

7º Passo)
$L_1 \leftarrow L1 - 5 L_2$

$\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 5 & 0 & -\frac{1}{17} & -\frac{6}{17} & \frac{29}{17} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{2}{51} & -\frac{5}{51} & \frac{10}{51} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{3}{17} & \frac{1}{17} & -\frac{2}{17}\end{array}\right] \sim \left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & -\frac{13}{51} & \frac{7}{51} & \frac{37}{51} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{2}{51} & -\frac{5}{51} & \frac{10}{51} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{3}{17} & \frac{1}{17} & -\frac{2}{17}\end{array}\right]$

Podemos então reescrever a resposta final como:

$\frac{1}{51}\begin{bmatrix} -13 & 7 & 37 \\ 2 & -5 & 10 \\ 9 & 3 & -6 \end{bmatrix}$

Para conferir o resultado, basta efetuar a operação:

$\frac{1}{51}\begin{bmatrix} -13 & 7 & 37 \\ 2 & -5 & 10 \\ 9 & 3 & -6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 3 & 5 \\ 2 & -5 & 4 \\ 1 & 2 & 1 \end{bmatrix}$

Note que o resultado dessa operação será a matriz identidade.

Observação

Se você deixasse para transformar os pivôs em 1 apenas no final do processo (como expliquei em seu outro tópico), você iria economizar tempo realizando menos operações com frações.

por **Claudin** » Seg Fev 13, 2012 15:33

Muito obrigado pela explicação Luiz Aquino

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