Determinante

por **Claudin** » Qui Set 15, 2011 20:57

Para resolver o determinante de uma matriz 4x4, deve-se fazer primeiramente o calculo através do cofator.
Sendo assim eu calculava o cofator da linha que possuía mais zeros para facilitar as contas, ate aí certo?
Porém logicamente, resulta em uma matriz 3x3, e ai não podendo utilizar o método de Sarrus, ou seja, calcular det 3x3, por cofator também, estou errando, pois o determinante agora acaba recebendo multiplicação de alguns escalares e isso fez eu errar. Alguém ajuda?

por **Claudin** » Qui Set 15, 2011 21:15

Por exemplo na matriz

$\begin{bmatrix} 2 & 0 & 1 & 4 \\ 2 & 3 & -1 & 0 \\ 1 & 2 & -5 & -6 \\ 8 & 4 & -7 & 0 \end{bmatrix}$

Sendo assim o A14 pois á coluna onde tem mais zero
ai resulta na 3x3
e calculando o determinante da 3x3 da -75, ai não sei o que fazer para calcular o det da 4x4, sendo que não posso utilizar método de Sarrus para calcular det de matriz 3x3

por **LuizAquino** » Sex Set 16, 2011 00:13

Claudin escreveu:Por exemplo na matriz

$\begin{bmatrix} 2 & 0 & 1 & 4 \\ 2 & 3 & -1 & 0 \\ 1 & 2 & -5 & -6 \\ 8 & 4 & -7 & 0 \end{bmatrix}$

Sendo assim o A14 pois á coluna onde tem mais zero
ai resulta na 3x3
e calculando o determinante da 3x3 da -75, ai não sei o que fazer para calcular o det da 4x4, sendo que não posso utilizar método de Sarrus para calcular det de matriz 3x3

Uma correção: método de Sarrus pode ser aplicado apenas para calcular o determinante de matrizes 3 por 3.

Uma maneira mais conveniente para calcular o determinante de uma matriz é transformando-a em uma matriz triangular equivalente, como eu já indiquei para você no tópico abaixo:
Matriz
viewtopic.php?f=111&t=5958

Entretanto, considerando que você quer resolver o determinante dessa matriz por cofator, então você deve seguir algo como ilustrado a seguir.

Escolhendo a quarta coluna, temos que:
$\det A = (-1)^{1+4}a_{14}\det \tilde{A}_{14} + (-1)^{2+4}a_{24}\det \tilde{A}_{24}$ $+ (-1)^{3+4}a_{34}\det \tilde{A}_{34} + (-1)^{4+4}a_{44}\det \tilde{A}_{44}$

Lembrando que $a_{24} = a_{44} = 0$ , $a_{14} = 4$ , $a_{34} = -6$ e resolvendo as potências, ficamos apenas com:
$\det A = -4\det \tilde{A}_{14} + 6\det \tilde{A}_{34}$

Agora devemos resolver o determinante das matrizes menores:

$\det \tilde{A}_{14} = \begin{vmatrix} 2 & 3 & -1 \\ 1 & 2 & -5 \\ 8 & 4 & -7 \end{vmatrix} = -75$

$\det \tilde{A}_{34} = \begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & -1 \\ 8 & 4 & -7 \end{vmatrix} = -50$

Temos então no final que:
$\det A = -4(-75) + 6(-50) = 0$

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