Determinantes

por **Cleyson007** » Dom Jul 20, 2008 11:55

Olá, bom dia!!!

Estou com uma questão de determinantes para resolver, e gostaria de saber se está correto o procedimento por mim adotado para a resolução da mesma. Desde já agradeço a atenção de todos.

A questão é essa----> Dada $A= \begin{vmatrix} -3 & 0 & {a}^{2}-1 & 0\\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 5 & 3 & -1 & 2\\ a+2 & -1 & 0 & 0\\ \end{vmatrix}$ .

(a) Determine todos os valores de $a\in R$ (conjunto dos números reais), para que detA = 0.
(b) Escolha um destes valores de

e, para este valor escolhido, dê exemplos de matrizes colunas ${B}_{1}$ e ${B}_{2}$ (4x1) tais que $AX={B}_{1}$ tenha solução e $AX={B}_{2}$ não tenha.

A letra (a) resolvi da seguinte maneira ---> Optei por calcular o determinante de ${a}_{22}$ (por ser a linha que contém o maior número de zeros).

Resolvendo o determinante pelo cofator do elemento ${a}_{22}$ , encontrei a seguinte equação: ${2a}^{3}+{4a}^{2}-2a-4$

Resolvendo a equação, encontrei a=+1

,

e

.

Quanto a (b) não consegui entender o enunciado, gostaria que me desse alguma dica a fim de que compreenda o mesmo!!!

:?:

A resolução da pergunta (a) está correta :?:

Forte abraço!!!
Até mais.

por **admin** » Dom Jul 20, 2008 18:58

Olá Cleyson, boa tarde!

Sugiro alterações em alguns detalhes de seu tópico.

Cleyson007 escreveu:A questão é essa----> Dada $A= \begin{vmatrix} -3 & 0 & {a}^{2}-1 & 0\\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 5 & 3 & -1 & 2\\ a+2 & -1 & 0 & 0\\ \end{vmatrix}$ .

(a) Determine todos os valores de $a\in R$ (conjunto dos números reais), para que detA = 0.
(b) Escolha um destes valores de e, para este valor escolhido, dê exemplos de matrizes colunas ${B}_{1}$ e ${B}_{2}$ (4x1) tais que $AX={B}_{1}$ tenha solução e $AX={B}_{2}$ não tenha.

Pelos itens do enunciado, entendemos que

é uma matriz. Entretanto, você escreveu

como já sendo um determinante.
No LaTeX, substitua "vmatrix" por "bmatrix", vem de brackets (colchetes - []).

Cleyson007 escreveu:A letra (a) resolvi da seguinte maneira ---> Optei por calcular o determinante de ${a}_{22}$ (por ser a linha que contém o maior número de zeros).

Cleyson, $a_{22}$ é um elemento da matriz. Você escreveu algo diferente do pretendido.
O determinante de $a_{22}$ (entendemos como o determinante de uma matriz de ordem 1 cujo $a_{22}$ é o único elemento) seria o próprio $a_{22}$ .

Cleyson007 escreveu:Resolvendo o determinante pelo cofator do elemento ${a}_{22}$ , encontrei a seguinte equação: ${2a}^{3}+{4a}^{2}-2a-4$

Cuidado, não há equação aí, não há o símbolo de igualdade.
De qualquer forma, também resolvi o problema e constatei que:

$D_{22} = 2a^3 + 4a^2-2a-4$

Mas atenção, pois:

$\left| A \right| = a_{22} \cdot (-1)^{2+2}\cdot D_{22}$

$\left| A \right| = 2 \cdot D_{22}$

$\left| A \right| = 2 \cdot (2a^3 + 4a^2-2a-4)$

$\left| A \right| = 4a^3 + 8a^2-4a-8$

Mas como queremos analisar a condição $\left| A \right| = 0$ , o fator

não influenciará nas raízes desta cúbica:

4a^3 + 8a^2-4a-8 = 0

Pois, dividindo ambos os membros por

, igualmente teremos:

2a^3 + 4a^2-2a-4 = 0

Ou ainda:

Cleyson007 escreveu:Resolvendo a equação, encontrei , e .

Suas raízes estão corretas, mas seria interessante você também comentar como conseguiu obtê-las!

Sobre o item (b),

é uma matriz.
E pela definição de produto, se B_1

e

são matrizes 4x1,

também deverá ser 4x1. Ou seja, é da forma:

$X = \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \\ d \end{bmatrix}$

Em outras palavras, o item pede para que você represente estes produtos como sistemas lineares.

Bons estudos!

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