Matriz & Determinante

[Colton]

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Olá pessoal

Estou com problemas para resolver duas questões de matrizes:

a) Prove que o determinante da matriz

a^2 (a+2)^2 (a+4)^2
(a+2)^2 (a+4)^2 (a+6)^2
(a+4)^2 (a+6)^2 (a+8)^2

é igual a -2^9.

este eu resolvi, porém desenvolvendo os produtos e potências, o que foi muito trabalhoso...será que há uma maneira mais simples utilizando as propiedades?

b) Mostre que o determinante da matriz:

cos(x+a) sen(x+a) 1
cos(x+b) sen(x+b) 1
cos(x+c) sen(x+c) 1

é independente de x.

este eu não consegui resolver. Na tentativa de desenvolver o determinante, acabo chegando a uma “salada” de senos e cossenos onde não encontro uma saída...seja diretamente, seja tentando o teorema de Cauchy (para cair numa equação)!

Espero que haja alguém aí para me dar uma orientação.

Colton

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[Colton]

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Olá todos!

Não tendo recebido nenhum comentário à minha questão e tendo resolvido no ínterim a questão colocada e à falta de uma melhor orientação EU MESMO respondo:

301. Mostre que o determinante da matriz
{[cos(x+a), sen(x+a), 1], [cos(x+b), sen(x+b), 1], [cos(x+c), sen(x+c), 1]}
é independente de x.

(i) Aplicando primeiro a troca de filas paralelas detM’ = – detM
– {[1, cos(x+a), sen(x+a)], [1, cos(x+b), sen(x+b)], [1, cos(x+c), sen(x+c)]}
e em seguida a regra de Chió, o determinante se calcula com a “inocente” diferença de produtos:
– { [(cos(x+b) – cos(x+a)) . (sen(x+c) – sen(x+a))] –
– [(cos(x+c) – cos(x+a)) . (sen(x+b) – sen(x+a)]}

(ii) Desenvolvendo esta diferença de produtos obtemos 24 produtos individuais,
sendo 12 do tipo: +senx.cosx.cosa.cosc
–senx.cosx.cosa.cosb
–senx.cosx.sena.cosc, etc
que convenientemente agrupados dois a dois se ANULAM
e 12 produtos do tipo: sen^2x.sena.cosb
+cos^2x.sena.cosb
– sen^2x.sena.cosc, etc
que convenientemente agrupados dois a dois NÃO se anulam, mas em
compensação ELIMINAM os fatores em x, resultando na soma/subtração de 6
fatores.

(iii) Estes 6 fatores, por sua vez se reduzem como segue:
senc.cosa–sena.cosc => sen(c–a) => –sen(a–c)
senb.cosc–senc.cosb => sen(b–c)
sena.cosb–senb.cosa => sen(a–b), portanto:

(iv) Det{[cos(x+a), sen(x+a), 1], [cos(x+b), sen(x+b), 1], [cos(x+c), sen(x+c), 1]}=
= –sen(a–c) + sen(a–b) + sen(b–c) => idependente de x c.q.d.

ONDE CONTINUO COM A DÚVIDA SE NÃO HAVERIA UMA MANEIRA MAIS SINTÉTICA DE RESOVER A QUESTÃO, AFINAL É UMA ENORMIDADE DE SOMAS E MULTIPLICAÇÕES QUE TIVE QUE FAZER COM CORRESPONDENTE POTENCIAL DE ÊRRO.

Saudações


Colton

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