(FUVEST) A equação matricial...

por **manuoliveira** » Seg Set 06, 2010 01:34

(FUVEST) A equação matricial $\begin{displaymath} \mathbf{ \mathbf{} \left( \begin{array}{ccc} 1 & 5 \\ 2 & -1 \end{array} \right) \end{displaymath} } \lcdot \left( \begin{array}{ccc} x \\ y \end{array} \right) \end{displaymath} } = {\lambda} \left( \begin{array}{ccc} x \\ y \end{array} \right)$ admite mais de uma solução se, e somente se, $\lambda$ é igual a:

Resposta: +- $\sqrt{11}$

por **Douglasm** » Seg Set 06, 2010 09:23

Essa equação matricial nos dá o seguinte sistema de equações:

$x + 5y = \lambda x$

$2x - y = \lambda y$

Que é equivalente ao seguinte sistema homogêneo:

$(1-\lambda) x + 5y = 0$

$2 x - (1+\lambda) = 0$

Para que esse sistema admita mais de uma solução, ele deverá ser possível e indeterminado. Conseqüentemente:

$\det \; \begin{vmatrix} (1-\lambda) & 5 \\ 2 & (1+\lambda) \end{vmatrix} = 0$

Para que esse determinante seja zero, é necessário que:

$\lambda = \sqrt{11} \;\mbox{ou} \; -\sqrt{11}$

por **manuoliveira** » Seg Set 06, 2010 11:40

Obrigada!!!

por **rafael_ferramenteiro** » Dom Mai 18, 2014 15:05

A resolução mostrada acima, apesar de bem esclarecedora contém alguns erros de passagem. Espero ajudar a elucidada-los mostrando aqui a passagem correta:

Douglasm escreveu:Que é equivalente ao seguinte sistema homogêneo:

$(1-\lambda) x + 5y = 0$

$2 x - (1+\lambda) = 0$

Para que esse sistema admita mais de uma solução, ele deverá ser possível e indeterminado. Conseqüentemente:

$\det \; \begin{vmatrix} (1-\lambda) & 5 \\ 2 & (1+\lambda) \end{vmatrix} = 0$

Para que esse determinante seja zero, é necessário que:

$\lambda = \sqrt{11} \;\mbox{ou} \; -\sqrt{11}$

Para a última afirmação ser verdadeira $\lambda=\pm\sqrt[]{11}$ o sistema homogêneo deve ser da seguinte forma:

$(1-\lambda)x+5y=0$

$2x+(-1-\lambda)y=0$

Então arrumando a equação para um sistema de equações matricial com determinante igual a zero (sistema possível e indeterminado) temos:

$\det \; \begin{vmatrix} (1-\lambda) & 5 \\ 2 & (-1-\lambda) \end{vmatrix} = 0$

Aí sim resolvendo-se o determinante ficará da seguinte forma:

$(1-\lambda)(-1-\lambda)-(5\times2)=0$

$-1+{\lambda}^{2}-10=0$

$-11+{\lambda}^{2}=0$

${\lambda}^{2}=11$

$\lambda=\pm\sqrt[]{11}$

Espero ter ajudado =D