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Isolar as variáveis da matriz

Isolar as variáveis da matriz

Mensagempor lheandro13 » Dom Mai 25, 2014 00:08

Tenho esse problema para resolver. Se a Matriz A =
3 -2,
-4 3

ache B de modo que B² = A
considerando a matriz B como
a b
c d

e multiplicando B * B = A, obtive as seguintes equação

a² + bc = 3
b(a + d) = -2
c(a + d) = -4
cb + d² = 3

o problema está que não estou conseguindo isolar as variáveis para achar o resultado, alguem podia me ajudar, acho q seja bem simples, mas empaquei nisso.. Vlw
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Re: Isolar as variáveis da matriz

Mensagempor Russman » Dom Mai 25, 2014 01:23

Você obteve o sistema corretamente. Você precisa considerar ainda mais uma equação para resolver completamente o problema. Mas falemos dela depois. Atenhamo-nos agora a seguir os seus passos!

Note que subtraindo a primeira equação da última obtemos

a^2 +bc - cb - d^2 = 0 \Rightarrow a^2 = d^2 \Rightarrow a = \pm d

Mas, estudando a segunda e terceira equação não faz sentido a=-d já que isso implicaria em

b.0=-2
c.0=-4

o que é um absurdo!

Portanto, nossa primeira constatação é que a=d.

Agora, se você dividir a segunda equação pela terceira encontrará uma relação linear entre b e c. Veja

\frac{b(a+d)}{c(a+d)} = \frac{-2}{-4} \Rightarrow c=2b

Substituindo essa informação na primeira equação temos que

a^2 + 2b^2 = 3

Ou seja, se escolhermos(imaturamente) b como um parâmetro livre a solução do sistema é

a = \pm \sqrt{3-2b^2}
b=b
c=2b
d=\pm \sqrt{3-2b^2}

Uma exigência que deve ser feita é 3-2b^2 \geq 0 que implica em b^2 \leq \frac{3}{2}.

Agora, já que B*B = A, então (\det(B))^2 = \det(A). Isto é,

(ad-bc)^2 = 1

Mas, de acordo com nossa solução isto é

(3-4b^2)^2 = 1

que nos dá as possibilidades b^2 = 1 ou b^2 = \frac{1}{2}. Ambas estão de acordo com a exigência b^2 \leq \frac{3}{2}. Portando, existe mais de uma única matriz B tal que B*B=A. As matrizes serão da forma

B=\begin{bmatrix}
\pm \sqrt{3-2b^2}  &b \\ 
 2b & \pm \sqrt{3-2b^2}   
\end{bmatrix}

com b=\pm 1 ou b= \pm \frac{1}{\sqrt{2}}.

A matriz A conter elementos negativos E positivos significa, instintivamente, que os elementos de B não podem ser, simultaneamente, todos positivos ou todos negativos. Isto limita algumas escolhas de sinais na diagonal principal combinadas a escolha de b. Este fato se observa voltando a equação

b(a+d) = -2

Se a=d, então a+d = 2a. Assim,

2ba = -2 \Rightarrow  ab=-1.

Portanto, a e b nunca podem ter o mesmo sinal! Se você escolher b=-1 ou b=-\frac{1}{\sqrt{2}} então terá, necessariamente, que selecionar as raízes positivas da diagonal principal de B. Caso contrário, as negativas. Eu acho que isto dá umas 4 possibilidades de matrizes B diferentes! E você queria apenas uma, hein? ;B kkk
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Re: Isolar as variáveis da matriz

Mensagempor lheandro13 » Dom Mai 25, 2014 11:02

Opa, vlw aí cara..
Tava difícil mesmo de eu conseguir achar a solução. Muito obrigado.
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Assunto: função demanda
Autor: ssousa3 - Dom Abr 03, 2011 20:55

alguém poderia me ajudar nesse exercício aqui Uma loja de CDs adquire cada unidade por R$20,00 e a revende por R$30,00. Nestas condições,
a quantidade mensal que consegue vender é 500 unidades. O proprietário estima que, reduzindo o preço para R$28,00, conseguirá vender 600 unidades por mês.
a) Obtenha a função demanda, supondo ser linear

Eu faço ensino médio mas compro apostilas de concursos para me preparar para mercado de trabalho e estudar sozinho não é fácil. Se alguém puder me ajudar aqui fico grato


Assunto: função demanda
Autor: ssousa3 - Seg Abr 04, 2011 14:30

Gente alguém por favor me ensine a calcular a fórmula da função demanda *-)