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preciso de ajuda para resolver um exercicio sobre matrizes

preciso de ajuda para resolver um exercicio sobre matrizes

Mensagempor anabela » Sáb Nov 14, 2009 09:09

o exercicio diz q a matriz M = a b(elementos na 1ª linha) e c d (elementos da 2 linha) ,calcule tdas as matrizes para M elevedo a 2 seja igual á matriz identidade?

como resolver??

pensei em atribuir valores a a,b,c,d e depois fazia o produto mas nao dá a matriz identidade ,será q me podem dar uma dica?
anabela
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Re: preciso de ajuda para resolver um exercicio sobre matrizes

Mensagempor Elcioschin » Sáb Nov 14, 2009 09:39

Matriz M:

a .... b
c .... d

Matriz M² ---> Basta multiplicar M por M:

a²+bc .... ab+bd
ac+cd .... d²+bc

A matriz identidade é:

1 ..... 1
1 ..... 1

Basta agora igualar termo a termo e vc obterá 4 equações.
Resolvendo as 4 equações vc obterá b = 0, c = 0, d = - a
Depois coloque b, c, d em função de a.

Vc obterá 3 matrizes que atendem, uma delas em função de a.

Tente
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Re: preciso de ajuda para resolver um exercicio sobre matrizes

Mensagempor anabela » Dom Nov 15, 2009 09:15

Olá
Obrigada pela ajuda

mas tentei fazer o exercicio dessa forma mas fico com uma duvida a matriz identidade é aquela 1.......0
0........1

portanto ao multiplicar mxm obtenho depois um sistema do qual n consigo oter valores

mais uma vez vou tentar pôr aqui o exercicio para ver se alguém me dá outras dicas

é assim:

III. Determine todas as matrizes M =

a b
c d
!
com a; b; c e d pertencente R, tais que M elevado a 2(ao quadrado) seja =à matriz identidade ou seja
1.....0

0......1
anabela
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Re: preciso de ajuda para resolver um exercicio sobre matrizes

Mensagempor Elcioschin » Dom Nov 15, 2009 11:12

Anabela

1) Primeiramente peço desculpas pela minha digitação errada da matriz identidade

Eu digitei:

1 .... 1
1 .... 1

E o correto é:

1 .... 0
0 .... 1

2) As equações decorrentes da comparação com a matriz M² são dadas por:

A matriz M² é:

a²+bc .... ab+bd
ac+cd .... d²+bc

As equações correspondentes são:

a² + bc = 1 ----> Equação I
d² + bc = 1 ----> Equação II
ab + bd = 0 ----> Equação III
ac + cd = 0 ----> Equação IV

3) Tudo isto eu indiquei para você, e até dei as soluções b = 0, c = 0, d = - a.

Eu imaginava que, a partir daí, seria fácil para você, já que a solução das equações é muito simples (matéria do Ensino Fundamental). Pelo visto, parece que você nem tentou continuar. Vou então terminar:

III ----> ab + bd = 0 ----> b*(a + d) = 0 ----> Ou b = 0 ou a + d = 0 ---> d = - a

IV ----> ac + cd = 0 ----> c*(a + d) = 0 ----> Ou c = 0 ou a + d = 0 ---> d = - a


Para b = 0, c = 0 :

I ----> a² + bc = 1 ----> a² + 0*0 = 1 ----> a² = 1 -----> a = 1 ou a = -1

II ----> d² + bc = 1 ----> d² + 0*0 = 1 ----> d² = 1 -----> d = 1 ou d = -1

Assim já podemos formar DUAS matrizes M:

1 ..... 0
0 ..... 1

-1 .... 0
0 .... -1

Finalmente a terceira e última matriz M (em função de a, b)

Para d = - a:

I ----> a² + bc = 1 -----> bc = 1 - a² ----> c = (1 - a²)/b

....a ............. b
(1 - a²)/b ...... -a

Note que esta última matriz é válida para quaisquer valores a, b diferentes dos anteriores.

Por exemplo para a = 2, b = - 1, teremos a seguinte matriz M:
2 ....... -1
3 ....... -2
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Re: preciso de ajuda para resolver um exercicio sobre matrizes

Mensagempor anabela » Dom Nov 15, 2009 14:57

Olá mto obrigada pela ajuda
NA 1ª fase tentei resolver o sistema mas estava a igualar as equações tdas a zero e nao estava a chegar a nenhuma conclusao,só depois é q vi q a mtriz identidade era aquela em q os elementos da diagonal principal eram iguais a 1 e os restantes iguais a zero.Com a sua ajuda percebi o exercicio mto obrigada.

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Re: preciso de ajuda para resolver um exercicio sobre matrizes

Mensagempor Nelito » Seg Nov 16, 2009 02:51

Eu peço desculpa por me estar aqui a intrometer, mas apesar de ter percebido mais ou menos o exercicio, e porque há muitos anos que já não estudava matemática, fiquei com a duvida de como é que eu apresentava exactamente a resposta a este exercicio. Estou muito enferrujado e tenho um exercicio parecido com este para resolver, mas parece-me sempre que falta qualquer coisa. Por exemplo basta-me colocar que a matriz M^2 = ás funções? Depois basta-me enunciar as funções e de seguida resolvê-las uma a uma? Para o professor é suficiente?
Por ultimo será possivel explicar-me melhor a ultima parte em que d=-a?
Eu peço desculpa por estas perguntas tão básicas, mas são de alguém que já não estudava matemática à umas dezenas de anos e resolveu agora retomar a sua formação. Eu estou-me esforçando por chegar lá, mas não está a ser nada fácil visto não ter aulas presenciais.

Ficaria muito agradecido pela gentileza e paciência.

Obrigado
Nelito
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Re: preciso de ajuda para resolver um exercicio sobre matrizes

Mensagempor Elcioschin » Seg Nov 16, 2009 09:31

Nelito

Respondendo as suas dúvidas:

1) Por exemplo basta-me colocar que a matriz M² = ás funções?

Na realidade eu não igualei a matriz M² com as funções.
O que eu igualei foi "cada termo Aij da matriz M² com cada termo Aij da matriz Identidade"

2) Isto leva a um sistema de equações, o qual, resolvido, conduz às soluções possíveis.

3) Para qualquer professor é suficiente: é um perfeito método algébrico ( sem "chutes" ou advinhações)

4) Veja uma das equações ---> b*(a - d) = 0

Como no 1º membro temos uma multiplicação de dois fatores (b) e (a - d), temos duas soluções possíveis:

I) b = 0
II) a - d = 0 ----> Esta solução leva a -----> d = -a

Precisamos agora dos valores de b e c ---->Não há jeito de calculá-los, isto é eles são indeterminados.

Faz-se então o seguinte: Partimos de um valor qualquer b e calculamos o valor de c em função de b:

a² + bc = 1 ----> bc = 1 - a² ----> c = (1 - a²)/b

Temos agora um valor de d em função de a e um valor de c em função de b. Basta montar a matriz M:

a ........ b
1-a² .... -a
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Re: preciso de ajuda para resolver um exercicio sobre matrizes

Mensagempor Nelito » Seg Nov 16, 2009 16:56

Agora entendi.

Muito obrigado pela paciência.

Isto tem de ser mesmo com muita prática.

Será que me pode ajudar com o outro tópico que eu criei?

Ficaria muito agradecido

Obrigado
Nelito
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Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Dom Jan 17, 2010 14:42

Não sei onde este tópico se encaixaria. Então me desculpem.
Eu não entendi essa passagem, alguém pode me explicar?
2n \geq n+1 ,\forall n \in\aleph*
O livro explica da seguinte forma.
1°) P(1) é verdadeira, pois 2.1 \geq 1+1
2°) Admitamos que P(k), k \in \aleph*, seja verdadeira:
2k \geq k+1 (hipótese da indução)
e provemos que 2(k+1) \geq (K+1)+1
Temos: (Nessa parte)
2(k+1) = 2k+2 \geq (k+1)+2 > (k+1)+1


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Seg Jan 18, 2010 01:55

Boa noite Fontelles.

Não sei se você está familiarizado com o Princípio da Indução Finita, portanto vou tentar explicar aqui.

Ele dá uma equação, no caso:

2n \geq n+1, \forall n \in \aleph^{*}

E pergunta: ela vale para todo n? Como proceder: no primeiro passo, vemos se existe pelo menos um caso na qual ela é verdadeira:

2*1 \geq 1+1

Portanto, existe pelo menos um caso para o qual ela é verdadeira. Agora, supomos que k seja verdadeiro, e pretendemos provar que também é verdadeiro para k+1.

\mbox{Suponhamos que P(k), }k \in \aleph^{*},\mbox{ seja verdadeiro:}
2k \geq k+1

\mbox{Vamos provar que:}
2(k+1) \geq (k+1)+1

Daí pra frente, ele usou o primeiro membro para chegar em uma conclusão que validava a tese. Lembre-se: nunca saia da tese.

Espero ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Seg Jan 18, 2010 02:28

Mas, Fantini, ainda fiquei em dúvida na passagem que o autor fez (deixei uma msg entre o parêntese).
Obrigado pela ajuda, mesmo assim.
Abraço!


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Qui Jan 21, 2010 11:32

Galera, ajuda aí!
Por falar nisso, alguém conhece algum bom material sobre o assunto. O livro do Iezzi, Matemática Elementar vol. 1 não está tão bom.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Jan 21, 2010 12:25

Boa tarde Fontelles!

Ainda não estou certo de qual é a sua dúvida, mas tentarei novamente.

O que temos que provar é isso: 2(k+1) \geq (k+1)+1, certo? O autor começou do primeiro membro:

2(k+1)= 2k+2

Isso é verdadeiro, certo? Ele apenas aplicou a distributiva. Depois, partiu para uma desigualdade:

2k+2 \geq (k+1)+2

Que é outra verdade. Agora, com certeza:

(k+1)+2 > (k+1)+1

Agora, como 2(k+1) é \geq a (k+1)+2, e este por sua vez é sempre > que (k+1)+1, logo:

2(k+1) \geq (k+1)+1 \quad \mbox{(c.q.d)}

Inclusive, nunca é igual, sempre maior.

Espero (dessa vez) ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Caeros - Dom Out 31, 2010 10:39

Por curiosidade estava estudando indução finita e ao analisar a questão realmente utilizar a desigualdade apresentada foi uma grande sacada para este problema, só queria tirar uma dúvida sobre a sigla (c.q.d), o que significa mesmo?


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: andrefahl - Dom Out 31, 2010 11:37

c.q.d. = como queriamos demonstrar =)


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Abelardo - Qui Mai 05, 2011 17:33

Fontelles, um bom livro para quem ainda está ''pegando'' o assunto é:'' Manual de Indução Matemática - Luís Lopes''. É baratinho e encontras na net com facilidade. Procura também no site da OBM, vais encontrar com facilidade material sobre PIF... em alguns sites que preparam alunos para colégios militares em geral também tem excelentes materiais.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Mai 05, 2011 20:05

Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Vennom - Qui Abr 26, 2012 23:04

MarceloFantini escreveu:Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.

Rpz, faz um ano que o fulano não visita o site, mas ler esse comentário dele enquanto respondia a outro tópico me ajudou. hAUEhUAEhUAEH obrigado, Marcelo. Sua explicação de indução finita me sanou uma dúvida sobre outra coisa. :-D