Isolar as variáveis da matriz

por **lheandro13** » Dom Mai 25, 2014 00:08

Tenho esse problema para resolver. Se a Matriz A =
3 -2,
-4 3

ache B de modo que B² = A
considerando a matriz B como
a b
c d

e multiplicando B * B = A, obtive as seguintes equação

a² + bc = 3
b(a + d) = -2
c(a + d) = -4
cb + d² = 3

o problema está que não estou conseguindo isolar as variáveis para achar o resultado, alguem podia me ajudar, acho q seja bem simples, mas empaquei nisso.. Vlw

por **Russman** » Dom Mai 25, 2014 01:23

Você obteve o sistema corretamente. Você precisa considerar ainda mais uma equação para resolver completamente o problema. Mas falemos dela depois. Atenhamo-nos agora a seguir os seus passos!

Note que subtraindo a primeira equação da última obtemos

$a^2 +bc - cb - d^2 = 0 \Rightarrow a^2 = d^2 \Rightarrow a = \pm d$

Mas, estudando a segunda e terceira equação não faz sentido a=-d

já que isso implicaria em

b.0=-2

o que é um absurdo!

Portanto, nossa primeira constatação é que a=d

.

Agora, se você dividir a segunda equação pela terceira encontrará uma relação linear entre

e

. Veja

$\frac{b(a+d)}{c(a+d)} = \frac{-2}{-4} \Rightarrow c=2b$

Substituindo essa informação na primeira equação temos que

a^2 + 2b^2 = 3

Ou seja, se escolhermos(imaturamente)

como um parâmetro livre a solução do sistema é

$a = \pm \sqrt{3-2b^2}$
b=b

$d=\pm \sqrt{3-2b^2}$

Uma exigência que deve ser feita é $3-2b^2 \geq 0$ que implica em $b^2 \leq \frac{3}{2}$ .

Agora, já que B*B = A

, então $(\det(B))^2 = \det(A)$ . Isto é,

(ad-bc)^2 = 1

Mas, de acordo com nossa solução isto é

(3-4b^2)^2 = 1

que nos dá as possibilidades b^2 = 1

ou $b^2 = \frac{1}{2}$ . Ambas estão de acordo com a exigência $b^2 \leq \frac{3}{2}$ . Portando, existe mais de uma única matriz

tal que

. As matrizes serão da forma

$B=\begin{bmatrix} \pm \sqrt{3-2b^2} &b \\ 2b & \pm \sqrt{3-2b^2} \end{bmatrix}$

com $b=\pm 1$ ou $b= \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ .

A matriz

conter elementos negativos E positivos significa, instintivamente, que os elementos de

não podem ser, simultaneamente, todos positivos ou todos negativos. Isto limita algumas escolhas de sinais na diagonal principal combinadas a escolha de

. Este fato se observa voltando a equação

b(a+d) = -2