[Matrizes invertíveis] e matrizes inversas

por **JacquesPhilippe** » Seg Ago 08, 2011 19:19

Boa noite,

Eu estou a tentar estudar álgebra linear (sozinho, diga-se), mas fiquei preso numa demonstração (sorry não sou um einstein).

Sendo B invertível, (A e B são consideradas quadradas)

AB^-1=B^-1A só se, e somente só se, AB=BA

O interesse é demonstar esta necessidade, mas não consigo demonstrar =/

por **LuizAquino** » Seg Ago 08, 2011 20:57

Eu vou mostrar a ida e você tenta a volta.

Temos $AB^{-1} = B^{-1}A$ e queremos provar que AB = BA.

Comece multiplicando (a esquerda) ambos os membros de $AB^{-1} = B^{-1}A$ por B:

$BAB^{-1} = BB^{-1}A$

$BAB^{-1} = A$

Agora, temos que:

$AB = \left(BAB^{-1}\right)B = BA\left(B^{-1}B\right) = BA$

por **JacquesPhilippe** » Qua Ago 10, 2011 20:29

Desculpa a demora, estive uns dias sem acesso à internet.

Muito obrigado pela ajuda.

Fazendo a volta, ficará:

Certo?

por **LuizAquino** » Qui Ago 11, 2011 19:43

JacquesPhilippe escreveu:Fazendo a volta, ficará:

Multiplicando, a esquerda, por ${B}^{-1}$ :
${B}^{-1}{B}{A}={B}^{-1}{A}{B}$
${A}={B}^{-1}{A}{B}$

O que dá ${A}{B}^{-1}={B}^{-1}{A}{B}{B}^{-1}={B}^{-1}{A}$
Certo?